Des équations de Bezout - Bibm@th.net
- Des équations de BezoutEnoncé 
Résoudre les équations suivantes dans $\mathbb Z^2$ :
- $2x+5y=3$;
- $323x-391y=612$;
- $162x+207y=27$;
- $221x+247y=15$.
Indication 
- Chercher une solution particulière, puis déterminer toutes les solutions en retranchant cette solution particulière et en utilisant le théorème de Gauss.
- Commencer par chercher le pgcd de 323 et 391. Puis simplifier l'équation en la divisant par ce pgcd. Procéder alors comme d'ordinaire.
- Exactement comme ci-dessus.
- Il y a un piège!
Corrigé
- Commençons par remarquer que $2\wedge 5=1$ et donc, d'après le théorème de Bézout, l'équation admet toujours une solution. Ici, il est facile de remarquer que $(-1,1)$ est une solution particulière de l'équation. Considérons maintenant un couple d'entiers $(x,y)\in\mathbb Z^2$ tel que $2x+5y=3$. Alors, puisque $2\times(-1)+5\times 1=3$, on en déduit en soustrayant ces deux équations que $$2(x+1)+5(y-1)=0\iff 2(x+1)=-5(y-1).$$ On a donc $2|-5(y-1)$ et donc, puisque $2\wedge 5=1$, le théorème de Gauss assure que $2|y-1$. On en déduit l'existence de $k\in\mathbb Z$ tel que $y=1+2k$. Si on reporte ceci dans l'équation $2(x+1)=-5(y-1)$, on trouve que $x=-1-5k$. Réciproquement, tout couple d'entiers de la forme $(-1-5k,1+2k)$ avec $k\in\mathbb Z$ est solution de l'équation. Ainsi, on a prouvé que l'ensemble des solutions est $$\mathcal S=\{(-1-5k,1+2k);\ k\in\mathbb Z\}.$$
- On commence par rechercher le pgcd de 323 et 391 en appliquant par exemple l'algorithme d'Euclide.
On a :
\begin{eqnarray*}
391&=&323\times 1+68\\
323&=&68\times 4+51\\
68&=&51\times 1+17\\
51&=&17\times 3
\end{eqnarray*}
Ainsi, le pgcd de 391 et 323 est 17. On vérifie que 17 divise 612, car $612=17\times 36$.
D'autre part, $391=17\times 23$ et $323=17\times 19$. L'équation est donc équivalente à
$$19x-23y=36.$$
D'après le théorème de Bezout, puisque 19 et 23 sont premiers entre eux,
on sait qu'il existe $(x_0,y_0)$ solution de $19x-23y=1$.
Multipliant tout par 36, $(36x_0,36y_0)$ est solution de l'équation.
Soit $(x,y)$ une solution de l'équation. Alors on a $$19(x-36x_0)-23(y-36y_0)=0.$$ Ainsi, $19$ divise $23(y-36y_0)$. Mais puisque $19$ et $23$ sont premiers entre eux, $19$ divise $(y-36y_0)$ et donc il existe un entier $k$ tel que $y=36y_0+19k$. Reportant cela dans l'équation, on trouve que $x=36x_0+23k$. Réciproquement, il est facile de vérifier que tout couple $(36x_0+23k,36y_0+19k)$ est solution. Il suffit donc de déterminer un couple $(x_0,y_0)$.
On applique une nouvelle fois l'algorithme d'Euclide : \begin{eqnarray*} 23&=&19+4\\ 19&=&4\times 4+3\\ 4&=&3+1 \end{eqnarray*} soit, en remontant les calculs : $$1=4-(19-4\times 4)=5\times 4-19=5\times(23-19)-19=5\times 23-6\times 19.$$ On peut donc prendre $x_0=-6$ et $y_0=-5$. L'ensemble des solutions de l'équation est donc $$\{(-216+23k,-180+19k),\ k\in\mathbb Z\}.$$ - On procède exactement comme ci-dessus, cette fois-ci, $162\wedge 207=9$ et on peut simplifier par $9$. On trouve que l'ensemble des solutions est $$\{(27-23k,-21+18k);\ k\in\mathbb Z\}.$$
- Le pgcd de $221$ et $247$ est 13. Or, $13$ ne divise pas 15. L'équation n'admet donc pas de solutions!