Puissances itérées - Bibm@th.net

Exercice 1 - Puissances itérées [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

1. Déterminer, suivant les valeurs de $n\in\mathbb N$, le reste de la division euclidienne de $2^n$ par $5$.
2. Quel est le reste de la division par 5 de $1357^{2013}$?

Indication

1. Commencer par les petites valeurs de $n$ pour conjecturer que la suite des restes est périodique.
2. Commencer par étudier le reste de $1357$ dans la division par 5.

Corrigé

1. La méthode pour ce type d'exercice est toujours la même et est très importante à savoir. On commence par rechercher le premier entier $k\geq 1$ tel que $2^k\equiv 1\ [5]$. On va ensuite raisonner modulo $k$. On trouve successivement : $$2^1\equiv 2\ [5],\quad 2^2\equiv 4\ [5],\quad 2^3\equiv 3\ [5],\quad 2^4\equiv 1\ [5].$$ On va donc classer les entiers $n$ modulo $4$. En effet, si $n=4q+r$, alors sachant que $2^{4q}\equiv 1^q\ [5]$ soit $2^{4q}\equiv 1\ [5]$, on trouve que $$2^n\equiv 2^r\ [5].$$ Ainsi, on obtient
   • Si $n\equiv 0\ [4]$, alors $2^n\equiv 1\ [5]$;
   • Si $n\equiv 1\ [4]$, alors $2^n\equiv 2\ [5]$;
   • Si $n\equiv 2\ [4]$, alors $2^n\equiv 4\ [5]$;
   • Si $n\equiv 3\ [4]$, alors $2^n\equiv 3\ [5]$;
2. On commence par effectuer la division euclidienne de $1357$ par $5$, et on trouve que $1357\equiv 2\ [5]$, d'où $1357^{2013}\equiv 2^{2013}\ [5]$. De plus, $2013\equiv 1\ [4]$. On en déduit que $1357^{2013}\equiv 2^1\equiv 2\ [5]$.