Enoncé 
Soient $a,b\in]0,\pi[$. Écrire sous forme exponentielle les nombres complexes suivants :
$$\mathbf 1.\ z_1=1+e^{ia}\quad \mathbf 2.\ z_2=1-e^{ia}\quad \mathbf 3.\ z_3=e^{ia}+e^{ib}\quad \mathbf 4. z_4=\frac{1+e^{ia}}{1+e^{ib}}.$$
Indication 
Dans une somme ou une différence de deux complexes de module 1, $e^{ix}\pm e^{iy}$, mettre en facteur
$e^{i\frac{x+y}2}$ puis utiiser les formules d'Euler.
Corrigé On utilise la méthode suivante : dans une somme ou une différence de deux complexes de module 1, $e^{ix}\pm e^{iy}$, on met en facteur $e^{i\frac{x+y}2}$ puis on utiise les formules d'Euler.
- $$z_1=e^{ia/2}\left(e^{-ia/2}+e^{ia/2}\right)=2\cos(a/2)e^{ia/2}.$$
De plus, $\cos(a/2)>0$ car $a\in ]0,\pi[$, et on a bien obtenu l'écriture trigonométrique du complexe.
- La même méthode donne
\begin{align*}
z_2&=e^{ia/2}\left(e^{-ia/2}-e^{ia/2}\right)\\
&=-2i\sin(a/2)e^{ia/2}\\
&=2\sin(a/2)e^{i\left(\frac a2-\frac\pi 2\right)}.
\end{align*}
- On a cette fois
$$z_3=e^{i\frac{a+b}2}\left(e^{i\frac{a-b}2}+e^{i\frac{b-a}2}\right)=2\cos\left(\frac{a-b}2\right)e^{i\frac {a+b}2}.$$
C'est bien une forme trigonométrique de $z_3$, car $-\frac \pi 2<\frac{a-b}2<\frac \pi 2$ et donc $\cos\left(\frac{a-b}2\right)>0$.
- En utilisant le résultat de la première question, on trouve
$$z_4=\frac{2\cos(a/2)e^{ia/2}}{2\cos(b/2)e^{ib/2}}=\frac{\cos(a/2)}{\cos(b/2)}e^{i\frac{a-b}2}.$$
