Corrigé 
On pose, pour $x\geq 0$,
$$f(x)=x-\ln(1+x).$$
Alors $f$ est dérivable sur $\mathbb R_+$ et, pour tout $x\geq 0$, on a
$$f'(x)=1-\frac1{1+x}=\frac{x}{x+1}\geq 0.$$
Ainsi, la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $[0,+\infty[$. De plus, $f(0)=0$, donc, pour tout $x\geq 0$, on a $f(x)\geq 0$ ce qui entraîne $\ln(1+x)\leq x$.
Pour démontrer l'autre inégalité, on introduit cette fois la fonction $g$ définie sur $[0,+\infty[$ par
$$g(x)=\ln(1+x)-x+\frac{x^2}2.$$
$g$ est dérivable sur $\mathbb R_+$ et pour tout $x\geq 0$, on a
$$g'(x)=\frac 1{1+x}-1+x=\frac{x^2}{1+x}\geq 0.$$
$g$ est donc croissante sur $\mathbb R_+$ et $g(0)\geq 0$, donc pour tout $x\geq 0$,
$$g(x)\geq 0\iff x-\frac{x^2}2\leq \ln(1+x).$$
- Inégalités
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