Position relative d'une courbe et de sa tangente - Bibm@th.net

On va effectuer un DL jusqu'à l'ordre 3 de $f$. Pour cela, on écrit $$f(x)=\ln 2+\ln\left(1+x+\frac{x^2}2\right)$$ et posons $u=x+\frac{x^2}2$. On a $\ln(1+u)=u-\frac{u^2}2+\frac{u^3}3+o(u^3)$, et \begin{eqnarray*} u&=&x+\frac{x^2}2\\ u^2&=&x^2+x^3+o(x^3)\\ u^3&=&x^3+o(x^3) \end{eqnarray*} ce qui donne $$f(x)=\ln 2+x-\frac{x^3}6+o(x^3).$$ La courbe représentative de $f$ admet donc au point $(0,\ln 2)$ une tangente d'équation $y=\ln 2+x$. De plus, $$f(x)-(\ln 2+x)=-\frac{x^3}6+o(x^3).$$ Cette différence est donc positive au voisinage de $0^-$, et négative au voisinage de $0^+$. La courbe traverse donc sa tangente en $(0,\ln 2)$.