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Composition de DLs - Bibm@th.net

Exercice 1

- Composition de DLs [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Calculer les développements limités suivants : $$\begin{array}{lcl} \displaystyle \mathbf 1.\ \ln\left(\frac{\sin x}{x}\right)\textrm{ à l'ordre 4 en 0}&& \displaystyle \mathbf 2.\ \exp(\sin x)\textrm{ à l'ordre 4 en 0}\\ \displaystyle \mathbf 3.\ (\cos x)^{\sin x}\textrm{ à l'ordre 5 en 0}&& \displaystyle \mathbf 4.\ x\big(\cosh x\big)^{\frac 1x}\textrm{ à l'ordre 4 en 0}. \end{array}$$

Indication

Corrigé

On commence par écrire $$\frac{\sin x}{x}=1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}+o(x^4).$$ On peut donc écrire $$\ln\left(\frac{\sin x}{x}\right)=\ln(1+u)\textrm{ avec }u=-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}+o(x^4).$$ En particulier, on remarque que $o(u^2)=o(x^4)$. De plus, on sait que $$\ln(1+u)=u-\frac{u^2}{2}+o(u^2).$$ On calcule les puissances de $u$, et on les tronque à l'ordre 4. Ainsi, $$u=-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}+o(x^4)$$ $$u^2=\frac{x^4}{36}+o(x^4).$$ Il vient \begin{eqnarray*} \ln\left(\frac{\sin x}{x}\right)&=&\frac{-x^2}{6}+\left(\frac{1}{120}-\frac{1}{2\times 36}\right)x^4+o(x^4)\\ &=&\frac{-x^2}{6}-\frac{x^4}{180}+o(x^4). \end{eqnarray*}
On pose $u=\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^4)$. $u$ tend vers 0 lorsque $x$ tend vers 0, et on peut bien écrire que $$\exp(u)=1+u+\frac{u^2}{2}+\frac{u^3}{6}+\frac{u^4}{24}+o(u^4).$$ Mais, \begin{eqnarray*} u&=&x-\frac{x^3}{6}+o(x^4)\\ u^2&=&x^2-\frac{x^4}{3}+o(x^4)\\ u^3&=&x^3+o(x^4)\\ u^4&=&x^4+o(x^4). \end{eqnarray*} En remplaçant, on trouve $$\exp(\sin(x))=1+x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{8}+o(x^4).$$
On écrit $$(\cos x)^{\sin x}=\exp\big(\sin x\ln(\cos x)\big).$$ On va donc devoir composer deux DLs, et faire un produit! Soit d'abord $u=-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^5)$. On a $$\ln(\cos x)=\ln(1+u)=u-\frac{u^2}{2}+\frac{u^3}3-\frac{u^4}4+\frac{u^5}5+o(u^5).$$ D'autre part, \begin{eqnarray*} u&=&-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^5)\\ u^2&=&\frac{x^4}{4}+o(x^5)\\ u^3&=&o(x^5)\\ u^4&=&o(x^5)\\ u^5&=&o(x^5) \end{eqnarray*} Il vient $$\ln(\cos x)=-\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{12}+o(x^5).$$ On en déduit \begin{eqnarray*} \sin(x)\ln(\cos x)&=&\left(x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}+o(x^5)\right)\left(-\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{12}+o(x^5)\right)\\ &=&-\frac{x^3}2+o(x^5) \end{eqnarray*} Finalement, on pose $v=-\frac{x^3}{2}+o(x^3)$, et on voit que $v^2=o(x^5)$. On obtient donc $$\exp\big(\sin x\ln(\cos x)\big)=\exp(v)=1+v+O(v^2)=1-\frac{x^3}{2}+o(x^5).$$ Il y avait finalement moins de calculs que l'on ne pouvait le craindre!
On commence par étudier le DL de $\frac1x\ln(\cosh x)$. Au voisinage de 0, le DL à l'ordre 4 du cosinus hyperbolique est donné par $$\cosh x=1+\frac{x^2}2+\frac{x^4}{24}+o(x^4).$$ Celui de $\ln(1+u)$ est donné par $$\ln(1+u)=u-\frac{u^2}2+o(u^2).$$ Il est n'est pas nécessaire d'aller plus loin, car en posant $u=\frac{x^2}2+\frac{x^4}{24}+o(x^4)$, on a déjà $o(u^2)=o(x^4)$. Puisque $u^2=\frac{x^4}{4}+o(x^4)$, on a en introduisant dans le DL de $\ln(1+u)$ : $$\frac{1}x\ln(\cosh x)=\frac{x}{2}-\frac{x^3}{12}+o(x^3)$$ (on se contente de DLs à l'ordre 3 car on va les multiplier par $x$ à la fin). Pour trouver le DL de $(\cosh x)^{\frac 1x}$, on doit encore composer par l'exponentielle : $$\exp(v)=1+v+\frac{v^2}2+\frac{v^3}{6}+o(v^3)$$ avec \begin{eqnarray*} v&=&\frac{x}{2}-\frac{x^3}{12}+o(x^3)\\ v^2&=&\frac{x^2}4+o(x^3)\\ v^3&=&\frac{x^3}8+o(x^3). \end{eqnarray*} On trouve donc $$(\cosh x)^{\frac{1}x}=1+\frac{x}{2}+\frac{x^2}{8}-\frac{x^3}{16}+o(x^3).$$ Pour la fonction initiale, ceci donne $$x(\cosh x)^{\frac{1}x}=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{8}-\frac{x^4}{16}+o(x^4).$$