Enoncé Calculer les intégrales suivantes :
$$\mathbf{1.}\ \int_0^{\pi/4}\frac{\sin^3(t)}{1+\cos^2 t}dt\quad\quad\mathbf{2.}\ \int_{\pi/3}^{\pi/2}\frac{dx}{\sin x}\quad\quad\mathbf{3.}\ \int_0^{\pi/3}\big(1+\cos(x)\big)\tan(x)dx.$$
Indication Faire le changement de variables $u=\cos(t)$.
Corrigé
- On pose $u=\cos t$, de sorte que $du=-\sin t dt$. Il vient
$\sin^3 dt=(\sin^2 t)\sin t dt=-(1-u^2)du$. De plus,
pour $t=0$, $u=1$ et pour $t=\pi/4$, $u=\sqrt 2/2$. L'intégrale est donc égale à
\begin{align*}
I&=-\int_1^{\sqrt 2/2}\frac{1-u^2}{1+u^2}du\\
&=\int_{\sqrt 2/2}^1 \frac{1-u^2}{1+u^2}du\\
&=-\int_{\sqrt 2/2}^1du+\int_{\sqrt 2/2}^1 \frac{2}{u^2+1}du\\
&=-1+\frac{\sqrt 2}{2}+\frac\pi2-2\arctan(\sqrt 2/2).
\end{align*}
- Là aussi, le meilleur changement de variables est $u=\cos x$, de sorte que $du=-\sin x dx$. Pour le faire
apparaitre dans l'intégrale, on écrit :
\begin{eqnarray*}
\int_{\pi/3}^{\pi/2}\frac{dx}{\sin x}&=&\int_{\pi/3}^{\pi/2}\frac{\sin x}{1-\cos^2 x}dx\\
&=&\int_{1/2}^0\frac{-du}{1-u^2}\\
&=&\frac12\int_0^{1/2}\left(\frac{1}{u-1}-\frac{1}{u+1}\right)du\\
&=&\frac12\left[\ln\left|\frac{u-1}{u+1}\right|\right]_0^{1/2}\\
&=&\frac12\ln 3.
\end{eqnarray*}
- C'est encore le même changement de variables qui est le meilleur!
\begin{eqnarray*}
\int_0^{\pi/3}\big(1+\cos(x)\big)\tan(x)dx&=&\int_{1/2}^1\frac{1+u}{u}du\\
&=&\big[u+\ln u\big]_{1/2}^1\\
&=&\frac12+\ln 2.
\end{eqnarray*}