Corrigé 
On va se ramener à une somme de Riemann en utilisant la fonction exponentielle.
On écrit donc
\begin{eqnarray*}
v_n&=&\frac1n\prod_{k=1}^n (k+n)^{1/n}\\
&=&\frac1n\prod_{k=1}^n \exp\left(\frac1n\ln(k+n)\right)\\
&=&\frac1n\exp\left(\frac1n\big(\ln(1+n)+\dots+\ln(n+n)\big)\right)\\
&=&\frac1n\exp\left(\frac1n\left(\ln\left(n\left(1+\frac1n\right)\right)+\dots+\ln\left(n\left(1+\frac nn\right)\right)\right)\right)\\
&=&\frac1n\exp\left(\frac1n\left(n\ln n+\ln\left(1+\frac 1n\right)+\dots+\ln\left(1+\frac nn\right)\right)\right)\\
&=&\frac1n\exp(\ln n)\exp\left(\frac1n\left(\ln\left(1+\frac 1n\right)+\dots+\ln\left(1+\frac nn\right)\right)\right)\\
&=&\exp\left(\frac1n\left(\ln\left(1+\frac 1n\right)+\dots+\ln\left(1+\frac nn\right)\right)\right).
\end{eqnarray*}
On pose $f(x)=\ln(x)$, fonction continue sur $[1,2]$, et on considère $S_n(f)$ la $n$-ième somme de Riemann
de $f$ entre 1 et 2. On a
$$v_n=\exp(S_n(f)).$$
Par le théorème des sommes de Riemann, on a
$$S_n(f)\to\int_1^2 f(t)dt=\int_1^2\ln(x)dx.$$
Or,
$$\int_1^2\ln(x)dx=[x\ln x-x]_1^2=2\ln 2-1.$$
Par le théorème de composition des limites, on trouve finalement
que $(v_n)$ converge vers $\exp(2\ln 2-1)=4/e$.
Bibm@th
