\'Equations - Bibm@th.net
Enoncé
Résoudre les équations suivantes :
$$\begin{array}{lll}
\mathbf{1.}\ \arcsin x=\arccos\frac13-\arccos\frac14&\quad&\mathbf{2.}\ \arcsin\frac{2x}{1+x^2}=\frac{\pi}3;\\
\mathbf{3.}\ \arctan 2x+\arctan 3x=\frac{\pi}4;&\quad&\mathbf{4.}\ \arcsin x+\arcsin \sqrt{1-x^2}=\frac\pi2;\\
\mathbf{5.}\ \arcsin x=\arctan 2+\arctan 3.
\end{array}$$
Indication
- Prendre le sinus et bien fonctionner par équivalence.
- Idem.
- Prendre la tangente des deux membres et utiliser la formule $\tan(a+b)=\dots$. Attention, on n'obtient pas une équation équivalente, il faut vérifier si les solutions obtenues sont bien des solutions de l'équation initiale.
- Poser $x=\sin\theta$.
- Minorer $\arctan 2+\arctan 3$.
Corrigé
- On utilise l'équivalence suivante : $$\left\{ \begin{array}{c} y=\arcsin x\\ x\in[-1,1] \end{array}\right.\iff \left\{ \begin{array}{c} \sin y=x\\ y\in[-\pi/2,\pi/2] \end{array}\right. .$$ Dans le cas qui nous intéresse, puisque $0\leq\arccos \frac13\leq\pi/2$ et $-\pi/2\leq-\arccos \frac14\leq 0$, on a bien $$\arccos \frac13-\arccos\frac14\in\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right].$$ Prenant le sinus, l'équation est donc équivalente à \begin{eqnarray*} x&=&\sin\left(\arccos\frac13-\arccos\frac14\right)\\ &=&\sin(\arccos 1/3)\cos(\arccos 1/4)-\sin(\arccos 1/4)\cos(\arccos 1/3)\\ &=&\sqrt{1-\frac1{3^2}}\frac14-\sqrt{1-\frac1{4^2}}\frac13\\ &=&\frac{\sqrt 8-\sqrt{15}}{12}. \end{eqnarray*}
- On procède de la même façon, en remarquant que $\pi/3$ est bien élément de $[-\pi/2,\pi/2]$ et que l'on a toujours $$-1\leq\frac{2x}{1+x^2}\leq 1$$ (car $x^2-2x+1=(x-1)^2\geq 0$ et $-1-x^2-2x=-(1+x)^2\leq 0$). L'équation est donc équivalente à $$\frac{2x}{1+x^2}=\sin\frac\pi3=\frac{\sqrt{3}}2.$$ Il reste à résoudre cette équation du second degré, dont on trouve que les solutions sont $\frac{\sqrt 3}3$ et $\sqrt 3$.
- Si les deux membres sont égaux, alors ils ont même tangente. Utilisant la formule $\tan(a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}$, les solutions vérifient l'équation $$\frac{5x}{1-6x^2}=1\iff 6x^2+5x-1=0.$$ En calculant le discriminant de ce polynôme de degré deux, on trouve qu'il admet deux racines, à savoir $x_1=-1$ et $x_2=\frac16$. $x_1$ ne peut pas être solution de l'équation initiale $\arctan 2x+\arctan 3x=\frac\pi4$, puisque $x_1\leq 0$ et donc $\arctan 2x_1\leq 0$ et $\arctan 3x_1\leq 0$. Pour $x_2$, on sait que $$\tan(\arctan 2x_2+\arctan 3x_2)=\tan(\pi/4),$$ et donc $$\arctan 2x_2+\arctan 3x_2\equiv\frac{\pi}4\ [\pi].$$ Il suffit donc de prouver que $\arctan 2x_2+\arctan 3x_2$ est élément de $]\pi/4-\pi,\pi/4+\pi[$ pour être sûr que $x_2$ est solution de l'équation. Mais, $0\leq 2x_2\leq 1$ et $0\leq 3x_2\leq 1$ et donc $$0\leq \arctan (2x_2)+\arctan(3x_2)\leq\frac\pi4+\frac\pi4=\frac\pi2.$$ $1/6$ est donc l'unique solution de l'équation initiale.
- Remarquons que puisqu'on calcule $\arcsin x$, on se limite à $x\in[-1,1]$. Il est donc légitime de poser $x=\sin\theta$ avec $\theta\in[-\pi/2,\pi/2]$. L'équation devient $$\theta+\arcsin(\cos \theta)=\frac{\pi}2$$ qui est encore équivalente à $$\arcsin(\sin(\pi/2-\theta))=\pi/2-\theta.$$ Or, $\arcsin (\sin t)=t$ si et seulement si $t\in[-\pi/2,\pi/2]$. On a donc $\arcsin(\sin(\pi/2-\theta))=\pi/2-\theta$ si et seulement si $\pi/2-\theta\in[-\pi/2,\pi/2]$, c'est-à-dire si et seulement si $\theta\in[0,\pi]$. Puisque $\theta\in[-\pi/2,\pi/2]$, on obtient donc que l'ensemble des solutions est constitué des réels $x$ s'écrivant $\sin(\theta)$ pour $\theta\in[0,\pi/2]$, c'est-à-dire que l'ensemble des solutions est $[0,1]$.
- Puisque $2>1$ et $3>1$, on a $\arctan 2>\pi/4$ et $\arctan 3>\pi/4$, d'où l'on déduit que $\arctan 2+\arctan 3>\pi/2$. Puisque $\arcsin x$ est toujours un élément de $[-\pi/2,\pi/2]$, on en déduit que l'équation n'a pas de solutions.