Corrigé 
Il y a deux méthodes classiques pour résoudre cet exercice. La première
consiste à remarquer que $\arccos(x)+\arcsin(x)=\frac\pi 2$ si et seulement si
$\arccos x=\frac\pi 2-\arcsin x$. Or, $\arccos(x)\in[0,\pi]$ et
$\pi/2-\arcsin x\in[0,\pi]$. Puisque $\cos$ est une bijection
de $[0,\pi]$ sur $[-1,1]$, ceci est équivalent à dire
$$\cos(\arccos x)=\cos(\pi/2-\arcsin x).$$
Mais, on a $\cos(\arccos x)=x$ et aussi
$$\cos(\pi/2-\arcsin x)=\sin(\arcsin x)=x$$
ce qui assure l'égalité demandée.
L'autre méthode consiste à poser $f(x)=\arccos x+\arcsin x$ et de remarquer
que cette fonction est continue sur $[-1,1]$ et dérivable sur $]-1,1[$.
Or, on a $f'(x)=0$. On en déduit que $f$ est constante sur l'intervalle $[-1,1]$.
Puisque $f(0)=\arccos(0)+\arcsin(0)=\pi/2$, on a bien $\arccos(x)+\arcsin(x)=f(x)=\pi/2$
pour tout $x\in[-1,1]$.
