L'erreur à ne pas faire est de croire que $\arccos\cos x=x$. Ceci n'est vrai que si $x\in[0,\pi]$ puisque $\cos$ réalise une bijection de $[0,\pi]$ sur $[-1,1]$
et que $\arccos$ en est sa bijection réciproque. Il faut donc se ramener,
par périodicité et parité du cosinus, à l'intervalle $[0,\pi]$. Ainsi :
- $2\pi/3\in[0,\pi]$ et donc $\arccos\cos(2\pi/3)=2\pi/3$.
- $-2\pi/3$ n'est pas dans l'intervalle $[0,\pi]$, mais $\cos(-2\pi/3)=\cos(2\pi/3)$ et donc
$\arccos\cos (-2\pi/3)=2\pi/3$.
- $4\pi/3$ n'est pas dans $[0,\pi]$, mais on a
$$\cos(4\pi/3)=\cos(4\pi/3-2\pi)=\cos(-2\pi/3)=\cos(2\pi/3).$$
On a donc aussi $\arccos\left(\cos\frac{4\pi}3\right)=\frac{2\pi}3$.
- Pour le dernier exemple, on commence par se ramener à un cosinus en utilisant la formule $\sin(x)=\cos\left(\frac\pi2-x\right)$. On a donc
$$\arccos\left(\sin\frac{17\pi}5\right)=\arccos\left(\cos \frac{-29\pi}{10}\right)=\arccos\left(\cos\frac{9\pi}{10}\right)=\frac{9\pi}{10}$$
puisque $\frac{9\pi}{10}$ est dans l'intervalle $[0,\pi]$.
