Cherchons d'abord les valeurs de $x$ pour lesquelles cette expression a un sens. On doit avoir $x^2-1>0$ et $2x-1>0$, soit
$x\in]-\infty,-1[\cup]1,+\infty[$ et $x\in ]1/2,+\infty[$. On trouve finalement que l'expression a un sens pour $x>1$. Utilisons les propriétés
fonctionnelles de la fonction logarithme. On trouve que l'équation est équivalente à
$$\ln\left(\frac{x^2-1}{2x-1}\right)=\ln \left(\frac 12\right).$$
En composant par la fonction exponentielle (ou en utilisant le fait que le logarithme est bijectif), on trouve que l'équation est équivalente à
$$\frac{x^2-1}{2x-1}=\frac 12.$$
La résolution de cette équation donne les racines $x_1=\frac{1-\sqrt 3}2$ et $x_2=\frac{1+\sqrt 3}2$. Seule la deuxième racine est dans l'intervalle voulu, et l'équation admet donc une unique solution qui est $\frac{1+\sqrt 3}2$.
Remarquons que l'équation n'a un sens que pour $x>1$. D'après les propriétés de la fonction logarithme, l'équation, pour $x>1$, est encore équivalente à
$$\ln\left(\frac{x+2}{x+1}\right)=\ln(x-1).$$
La fonction logarithme népérien étant injective (ou bien en composant par la fonction exponentielle), l'équation devient
$$\frac{x+2}{x+1}=x-1\iff x^2-x-3=0.$$
Les deux solutions de cette équation sont $x_1=\frac{1+\sqrt{13}}2$ et $x_2=\frac{1-\sqrt{13}}2$. Seule $x_1$ est dans $]1,+\infty[$. L'équation n'admet donc qu'une solution, $x_1$.
