Probabilité sur $\mathbb N$ - Bibm@th.net

Exercice 1 - Probabilité sur $\mathbb N$ ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Soit $a\in ]0,1[$.

1. Démontrer qu'il existe une unique probabilité sur $\mathbb N$ telle que, pour tout $n\in\mathbb N,$ $P(\{n\})=(1-a)a^n.$
2. On considère les deux événements $A=\{2k:\ k\in\mathbb N\}$ et $B=\{2k+1:\ k\in\mathbb N\}$. Calculer $P(A)$ et $P(B)$. Les événements $A$ et $B$ sont-ils incompatibles ? indépendants ?

Indication

1. Il y a deux conditions à vérifier.

Corrigé

1. Il suffit de vérifier que, pour tout $n\in\mathbb N,$ $a^n(1-a)\in]0,1[$ - ce qui est clair puisque $a\in]0,1[$, donc $a^n\in ]0,1]$ ($n$ peut être égal à $0$) et $1-a\in]0,1[$ - et que $$\sum_{n=0}^{+\infty}(1-a)a^n=\frac{1-a}{1-a}=1.$$
2. On a $$P(A)=\sum_{k=0}^{+\infty}(1-a)a^{2k}=\frac{1-a}{1-a^2}=\frac{1}{1+a}.$$ Comme $B=\bar A,$ on a $$P(B)=1-P(A)=\frac{a}{1+a}.$$ Puisque $A\cap B=\varnothing,$ les événements $A$ et $B$ sont incompatibles. Puisque $P(A\cap B)=P(\varnothing)=0$ et $P(A)P(B)\neq 0,$ les événements $A$ et $B$ ne sont pas indépendants.