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Limite, équivalent, développement limité - Bibm@th.net

Exercice 1

- Limite, équivalent, développement limité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Soit $f:[0,1]\to\mathbb R$ une fonction continue et strictement positive. Pour $n\geq 1,$ on pose $$I_n=\int_0^1 \sin\left(\frac{f(t)}{n}\right)dt.$$

Déterminer la limite de $I_n$.
Déterminer un équivalent simple $J_n$ de $I_n$.
Déterminer un équivalent de $I_n-J_n$.

Indication

Corrigé

Posons, pour $n\geq 1$ et $t\in[0,1]$, $f_n(t)=\sin\left(\frac{f(t)}{n}\right)$. Alors pour tout $t\in[0,1]$, $f_n(t)\to 0$ lorsque $n\to+\infty$. De plus, pour tout $t\in[0,1]$ et tout $n\geq 1,$ $|f_n(t)|\leq 1$ qui est intégrable sur $]0,1[$. Par le théorème de convergence dominée, $$\lim_{n\to+\infty}\int_0^1 \sin\left(\frac{f(t)}{n}\right)dt=0.$$
La première difficulté est de deviner l'équivalent. Pour le conjecturer, on peut se dire que, pour tout $t\in]0,1[$, $$\sin\left(\frac{f(t)}{n}\right)\sim_{n\to+\infty}\frac{f(t)}{n}.$$ Si tout se passe bien, on doit pouvoir intégrer cet équivalent et obtenir que $$I_n\sim_{+\infty}\frac{\int_0^1 f(t)dt}{n}$$ (remarquons que l'hypothèse $f>0$ intervient ici pour que l'intégrale ne soit pas nulle). On doit donc montrer que $nI_n\to \int_0^1 f(t)dt.$ C'est parti! Posons pour $t\in]0,1[$ et $n\geq 1$, $g_n(t)=n\sin\left(\frac{f(t)}{n}\right)$. Alors pour tout $t\in]0,1[$, $g_n(t)\to f(t)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$. De plus, utilisant l'inégalité $|\sin(x)|\leq |x|$ pour tout $x\in\mathbb R,$ on prouve que, pour $t\in]0,1[$ et $n\geq 1,$ $$|g_n(t)|\leq n\frac{f(t)}{n}=f(t).$$ Cette dernière fonction ne dépend plus de $n$ et est intégrable sur $]0,1[$ puisque $f$ est continue sur $[0,1]$. Ainsi, par le théorème de convergence dominée, $$nI_n\to \int_0^1 f(t)dt.$$
On commence par écrire $$I_n-\frac 1n\int_0^1 f(t)dt=\int_0^1 \left(\sin\left(\frac{f(t)}{n}\right)-\frac{f(t)}n\right)dt.$$ Le développement limité du sinus nous incite à poser, pour $n\geq 1$ et $t\in]0,1[$, $$h_n(t)=n^3 \left(\sin\left(\frac{f(t)}{n}\right)-\frac{f(t)}n\right).$$ On sait, en utilisant le développement limité du sinus, que pour tout $t\in]0,1[$, $$\lim_{n\to+\infty}h_n(t)=-\frac{f^3(t)}{6}.$$ De plus, on sait qu'il existe $\alpha>0$ et $h:[-\alpha,\alpha]\to\mathbb R$ bornée tels que, pour tout $x\in[-\alpha,\alpha],$ $$\sin(x)=x+x^3h(x)$$ (ceci est aussi une conséquence du développement limité du sinus). Soit $n_0$ tel que $\|f\|_\infty/n_0\leq 1$. Alors, pour tout $t\in]0,1[$ et tout $n\geq n_0$, on a $$\left|\sin\left(\frac{f(t)}{n}\right)-\frac{f(t)}n\right|\leq \frac{f^3(t)}{n^3}\|h\|_\infty$$ de sorte que $$|h_n(t)|\leq f^3(t)\times\|h\|_\infty.$$ A nouveau, la fonction apparaissant à droite ne dépend pas de $n$ et est intégrable sur $]0,1[$. Le théorème de convergence dominée nous donne alors $$\lim_{n\to+\infty}n^3\left(I_n-\frac1n\int_0^1 f(t)dt\right)=-\frac 16 \int_0^1 f^3(t)dt.$$ Ainsi, $$I_n-\frac 1n\int_0^1 f(t)dt\sim_{+\infty}\frac{-1}{6n^3}\int_0^1 f^3(t)dt.$$