Des limites du théorème d'intégration terme à terme - Bibm@th.net

On pourra aussi avoir la correction commentée de l'exercice dans la deuxième partie de cette vidéo : Dans toute la correction de l'exercice, on posera pour $n\geq 0$ et $t>1$ $$u_n(t)=\frac{1}{t^{3n+3}}.$$ Il est facile de remarquer que $$\int_1^{+\infty}u_n(t)dt=\frac 1{3n+2}.$$

1. On voudrait écrire que $$\int_1^{+\infty}\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n u_n(t)dt=\sum_{n=0}^{+\infty}\int_1^{+\infty}(-1)^n u_n(t)dt.$$ Pour pouvoir appliquer le théorème d'intégration terme à terme, il faudrait que la série de terme général $\int_1^{+\infty}|(-1)^n u_n(t)|dt$ converge. Mais $$\int_1^{+\infty}|(-1)^n u_n(t)|dt=\int_1^{+\infty}u_n(t)dt=\frac 1{3n+2}$$ qui est le terme général d'une série divergente.
2. Par le critère des séries alternées, pour tout $n\geq 1$ et tout $t\geq 1,$ on a $$|R_n(t)|\leq \frac 1{t^{3n+3}}.$$ Pour prouver que $\int_1^{+\infty}R_n(t)dt$ converge vers $0$, on peut appliquer le théorème de convergence dominée à la suite $(R_n)$ ou bien remarquer que $$\int_1^{+\infty}|R_n(t)|dt\leq \int_1^{+\infty}\frac{dt}{t^{3n+3}}=\frac1{3n+2}.$$ Ainsi, si on pose $S_n(t)=\sum_{k=0}^n (-1)^k u_k(t),$ on a \begin{align*} \int_1^{+\infty}\frac{dt}{1+t^3}&=\int_1^{+\infty}S_n(t)dt+\int_1^{+\infty}R_n(t)dt\\ &=\sum_{k=0}^n \int_1^{+\infty}(-1)^k u_k(t)dt+\int_1^{+\infty}R_n(t)dt\\ &=\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{3k+2}+\int_1^{+\infty}R_n(t)dt\\ &\xrightarrow {n\to+\infty}\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{3k+2}. \end{align*}