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Systèmes de congruence - Bibm@th.net

Exercice 1

- Systèmes de congruence [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Résoudre les systèmes d'équations suivants, d'inconnue $x\in\mathbb Z$ : $$\left\{ \begin{array}{rcll} x&\equiv&1&[2]\\ x&\equiv&2&[3]\\ x&\equiv&3&[5]\\ \end{array}\right. \quad \quad\quad \left\{ \begin{array}{rcll} x&\equiv&1&[6]\\ x&\equiv&4&[10]\\ x&\equiv&7&[15]\\ \end{array}\right. \quad \quad \quad \left\{ \begin{array}{rcll} x&\equiv&7&[18]\\ x&\equiv&1&[30]\\ x&\equiv&16&[45]\\ \end{array}\right. $$

Indication

Corrigé

Remarquons que $2,$ $3$ et $5$ sont premiers entre eux deux à deux. On est donc dans les conditions d'application du théorème chinois, et on sait qu'il existe une unique solution modulo $2\times 3\times 5=30.$ Soit $x$ une solution du système. Puisque $x\equiv 1\ [2],$ il existe $k\in \mathbb Z$ tel que $x=1+2k.$ Puisque $x\equiv 2\ [3],$ on a $2k\equiv\ 1\ [3]$ ce qu'on peut encore écrire $-k\equiv 1\ [3]$ ou même $k\equiv -1\ [3].$ Ainsi, il existe $\ell\in\mathbb Z$ tel que $k=-1+3\ell,$ et donc $x=-1+6\ell.$ Puisque $x\equiv 3\ [5],$ on sait que $-1+6\ell\equiv 3\ [5]$, ce qui revient à dire $6\ell\equiv\ 4\ [5]$ ou encore $\ell \equiv 4\ [5]$. Ainsi, il existe $n\in\mathbb Z$ tel que $\ell=4+5n$ ce qui donne $x=23+30n.$
Réciproquement, on vérifie que tous les entiers qui s'écrivent $23+30n$ sont solutions du système (d'après le théorème des restes chinois, puisque $2,$ $3$ et $5$ sont premiers entre eux, il suffit de vérifier que c'est vrai pour $23$).
On n'est plus dans les conditions d'application du théorème des restes chinois puisque $6$ et $10$ ne sont pas premiers entre eux. Remarquons que $x\equiv 1\ [6]$ entraîne que $x$ est impair, tandis que $x\equiv 4\ [10]$ entraîne que $x$ est pair. Le système n'admet donc pas de solutions.
On n'est pas non plus dans les conditions d'application du théorème chinois, puisque $18$ et $30$ ne sont pas premiers entre eux. Soit $x$ une solution du système. ALors $x\equiv 7\ [18]$ entraîne qu'il existe $k\in\mathbb Z$ tel que $x=7+18k.$ Puisque $x\equiv 1\ [30]$, on a $18k\equiv -6\ [30],$ et donc il existe $\ell\in\mathbb Z$ tel que $18k=-6+30\ell.$ On peut simplifier par $6$ et on trouve $3k=-1+5\ell$ c'est-à-dire $3k\equiv -1\ [5].$ Multipliant ceci par $2,$ (qui est l'inverse de $3$ modulo $5$...) on trouve $k\equiv -2\ [5]$ et donc il existe $n\in\mathbb Z$ tel que $k=-2+5n,$ c'est-à-dire $x=-29+90n.$ Enfin, puisque $x\equiv 16\ [45],$ on a $$90 n\equiv 45\ [45].$$ Ceci est toujours vérifié, et donc on a prouvé que si $x$ est solution, il existe $n\in\mathbb Z$ tel que $x=-29+90n.$
Réciproquement, on vérifie facilement que tous les entiers s'écrivant $x=-29+90n$ sont solutions du système.