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Exemple de sous-anneau et d'idéal dans un anneau de fonctions - Bibm@th.net

Exercice 1 - Exemple de sous-anneau et d'idéal dans un anneau de fonctions [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A=\mathcal C([0,1],\mathbb R)$, $B=\mathcal C^1([0,1],\mathbb R)$ et $I=\{f\in A:\ f(0)=0\}.$
  1. Démontrer que $A$ est un anneau pour les opérations somme et produit de fonctions.
  2. Démontrer que $B$ est un sous-anneau de $A$. $B$ est-il un idéal de $A$?
  3. Démontrer que $I$ est un idéal de $A$. $I$ est-il un sous-anneau de $A$?
  4. Démontrer que $I$ est un idéal maximal de $A,$ c'est-à-dire que si $J$ est un idéal de $A$ tel que $I\subset J\subset A,$ alors $J=I$ ou $J=A.$
Indication
Corrigé