Corrigé 
Soit $A\in\mathcal M_n(\mathbb Z)\cap O_n(\mathbb R)$. Alors on sait que, pour tout $j=1,\dots,n,$
$$\sum_{i=1}^n a_{i,j}^2=1.$$
Puisque $a_{i,j}\in\mathbb Z,$ ceci n'est possible que s'il existe $\phi(j)\in\{1,\dots,n\}$ tel que $a_{\phi(j),j}=\pm 1$ et $a_{i,j}=0$ pour tout $i\neq \phi(j)$. De plus, deux colonnes sont non colinéaires. Ainsi, $\phi:\{1,\dots,n\}\to\{1,\dots,n\}$ est injective, donc bijective puisqu'on travaille avec des ensembles finis. Ainsi, il y a au plus $2^n\cdot n!$ telles matrices (le $2^n$ correspond au choix des signes, le $n!$ aux permutations des vecteurs).
Réciproquement, si on se donne des signes $\veps_i\in\{-1,1\},$ $i=1,\dots,n$, et si les colonnes de $A$ constituent une permutation des vecteurs $\veps_i e_i,$ où $(e_1,\dots,e_n)$ est la base canonique de $\mathbb R^n,$ alors $A$ est orthogonale. Il y a donc exactement $2^n\times n!$ matrices de $O_n(\mathbb R)$ à coefficients entiers.
