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Anneau des entiers de Gauss - Bibm@th.net

Exercice 1 - Anneau des entiers de Gauss [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On appelle ensemble des entiers de Gauss noté $\mathbb Z[i]$ l'ensemble des nombres complexes qui s'écrivent $a+ib$, avec $a$ et $b\in\mathbb Z.$
  1. Démontrer que $\mathbb Z[i]$ est un anneau.
  2. Pour tout nombre complexe $z$, on note $N(z)=z\bar z.$
    1. Démontrer que, pour tous nombres complexes $z$ et $z'$, $N(z)N(z')=N(zz').$
    2. Démontrer que, pour tout entier de Gauss $z$, $N(z)$ est un entier naturel.
    3. Soit $z$ un entier de Gauss inversible. Déduire des questions précédentes que $N(z)=1$.
    4. Quels sont les éléments inversibles de $\mathbb Z[i]$?
Indication
Corrigé