Enoncé 
Les fonctions suivantes sont-elles dérivables au point indiqué?
$$f(x)=\frac{x}{1+|x|} \textrm{ en }0,\ \ \ g(x)=
\left\{\begin{array}{ll}
(x-1)&\textrm{ si }x\leq 1\\
(x-1)^2&\textrm{ si }x>1
\end{array}\right.\textrm{ en }1,\quad\quad h(x)=|x|\sin x\textrm{ en }0.$$
Corrigé 
On revient à la définition, et on cherche si le taux d'accroissement admet une limite en 0.
$$\frac{f(x)-f(0)}{x}=\frac{\frac{x}{1+|x|}}{x}=\frac{1}{1+|x|}\to 1$$
lorsque $x\to 0$. La fonction est donc dérivable en $0$, de dérivée $1$.
Concernant $g$, on remarque que $g$ est définie sur $[1,+\infty[$ par $g(x)=(x-1)^2$ (la formule fonctionne encore pour $x=1$). La dérivée de $x\mapsto(x-1)^2$ étant $x\mapsto 2(x-1)$, la fonction $g$
est donc dérivable à droite en $1$, et sa dérivée vaut $0$.
On remarque que $g$ est défini sur $]-\infty,1]$ par $g(x)=(x-1)$. La dérivée de la fonction $x\mapsto x-1$ étant $1$, $g$ est dérivable à gauche en $1$
et sa dérivée vaut $1$. Les dérivées à droite et à gauche de $g$ en $1$ ne coïncident pas, donc $g$ n'est pas dérivable en $1$ .
Pour $h$, on a
$$\frac{h(x)-h(0)}x=|x| \times\frac{\sin x}x.$$
Puisque $\sin x/x$ tend vers 1 quand $x$ tend vers 0 et que $|x|$ tend vers 0 quand $x$ tend vers 0, le taux d'accroissement converge vers $0$ quand $x$ tend vers 0, et donc $h$ est dérivable en $0$, avec $h'(0)=0$.
- Dérivable ou pas dérivable