Posons, pour $x\neq \pm 1$,
$$f(x)=\frac 1{x-1}+\frac 12\ln\left|\frac{1+x}{1-x}\right|-a.$$
La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb R\backslash \{\pm 1\}$; de plus, sa dérivée (qui ne dépend pas du signe de la quantité à l'intérieur de la valeur absolue dans le logarithme) est égale, après mise au même dénominateur, à
$$f'(x)=\frac{-2x}{(1-x)^2(1+x)}.$$
On en déduit le tableau de variations suivant pour la fonction (le calcul des limites ne pose pas de difficultés particulières; en particulier, il n'y a pas de formes indéterminées) :
Par continuité de $f$, en utilisant de plus sa stricte monotonie sur les intervalles $]-\infty,-1[$, $]-1,0[$, $]0,1[$ et $]1,+\infty[$, on discute le nombre de solutions suivant la valeur de $a$ :
- Si $a=0$, l'équation n'admet pas de solutions.
- Si $a>0$, l'équation admet une unique solution qui est située dans l'intervalle $]1,+\infty[$.
- Si $a\in]-1,0[$, l'équation admet une unique solution qui est située dans l'intervalle $]-\infty,-1[$.
- Si $a=-1$, l'équation admet deux solutions. L'une de ces solutions est $0$, l'autre est située dans l'intervalle $]-\infty,-1[$.
- Si $a<-1$, l'équation admet exactement trois solutions. L'une est située dans l'intervalle $]-\infty,-1[$, la seconde dans l'intervalle $]-1,0[$ et la troisième dans l'intervalle $]0,1[$.
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