Corrigé 
Puisque $6=2\times 3$ avec $2\wedge 3=1$, il suffit de prouver que $n(n+2)(7n-5)$ est divisible par $2$ et est divisible par $3$. Commençons par la divisibilité par $2$. On va raisonner par disjonction de cas. Si $n\equiv 0\ [2]$, alors clairement $n(n+2)(7n+5)\equiv 0\ [2]$. Si $n\equiv 1\ [2]$, alors $7n-5\equiv 2\ [2]$ et donc $7n-5\equiv 0\ [2]$. A nouveau, on a $n(n+2)(7n-5)\equiv 0\ [2]$.
Étudions maintenant la divisibilité par $3$. On raisonne encore par disjonction de cas, le cas $n\equiv 0\ [3]$ se traite comme précédemment. Si $n\equiv 1\ [3]$, on conclut en utilisant que $n+2\equiv 0\ [3]$ et si $n\equiv 2\ [3]$, on conclut en remarquant que $7n-5\equiv 9\ [3]$ et donc $7n-5\equiv 0\ [3]$.
