\'Equations du second ordre à coefficients constants - second membre exponentiel - Bibm@th.net

Exercice 1 - Équations du second ordre à coefficients constants - second membre exponentiel ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Résoudre les équations différentielles suivantes :

1. $y''-y=e^{2x}-e^x$;
2. $y''+y'+y=\cos(x)$;
3. $y''-2y'+y=\sin^2 x$;
4. $y''+y'+y=e^x\cos(x)$.

Corrigé

1. L'équation caractéristique est $r^2-1=0$ dont les racines sont $r=1$ et $r=-1$. Les solutions de l'équation homogène sont donc les fonctions $x\mapsto \lambda e^x +\mu e^{-x}$. Cherchons d'abord une solution particulière de $y''-y=e^{2x}$. Comme $2$ n'est pas racine de l'équation caractéristique, on cherche une telle solution sous la forme $y(x)=ae^{2x}$. Puisque $y''(x)=4ae^{2x}$, on a $y''-y=e^{2x}$ si et seulement si $4a-a=1$ soit $a=\frac13$.
   Cherchons maintenant une solution particulière à $y''-y=-e^x$. Comme $1$ est racine simple de l'équation caractéristique, on cherche une solution sous la forme $y(x)=axe^x$. Il vient $y'(x)=a(x+1)e^x$ et $y''(x)=a(x+2)e^x$. Ainsi, $y''-y=-e^x$ si et seulement si, pour tout $x\in\mathbb R$, $$\big(a(x+2)-ax\big)e^x=-e^x\iff a=-\frac 12.$$ Ainsi, la fonction $x\mapsto -\frac 12 xe^x$ est solution particulière de l'équation $y''-y=-e^x$.
   Finalement, on a prouvé que les solutions de $y''-y=e^{2x}-e^x$ sont les fonctions $$x\mapsto \left(\lambda-\frac x2\right)e^{x}+\mu e^{-x}+\frac 13e^{2x}.$$
2. L'équation caractéristique est $r^2+r+1=0$, de discriminant $\Delta=-3$. Les solutions de l'équation caractéristique sont donc les complexes conjugués $\frac{-1}2\pm i\frac{\sqrt 3}2$ et les solutions de l'équation homogène sont donc les fonctions $$x\mapsto \left(\lambda \cos\left(\frac{x\sqrt 3}2\right)+\mu\sin\left(\frac{x\sqrt 3}2\right)\right)e^{-x/2},\ \lambda,\mu\in\mathbb R.$$ On cherche ensuite une solution particulière de l'équation $y''+y'+y=\cos(x)$ sous la forme $y(x)=a\cos(x)+b\sin(x)$. Puisque $y'(x)=-a\sin(x)+b\cos(x)$ et que $y''(x)=-a\cos(x)-b\sin(x)$, on a $$y''(x)+y'(x)+y(x)=-a\sin(x)+b\cos(x).$$ On voit que le choix $a=0$ et $b=1$ donne une solution particulière. Finalement, on a prouvé que les solutions de l'équation sont les fonctions $$x\mapsto \sin(x)+\left(\lambda \cos\left(\frac{x\sqrt 3}2\right)+\mu\sin\left(\frac{x\sqrt 3}2\right)\right)e^{-x/2},\ \lambda,\mu\in\mathbb R.$$
3. L'équation caractéristique est $r^2-2r+1=0$ dont $1$ est racine double. Les solutions de l'équation homogène sont donc les fonctions de la forme $$x\mapsto (A+Bx)e^x,\ A,B\in\mathbb R.$$ Pour résoudre l'équation avec second membre, on linéarise $\sin^2 x=\frac{1-\cos(2x)}2.$ Par le principe de superposition des solutions, on cherche d'abord une solution particulière qui correspond à $1/2$. La fonction constante égale à $1/2$ convient. On cherche ensuite une solution particulière convenant à $\cos(2x)$ (il suffira ensuite de multiplier par $-1/2$ pour trouver une solution convenant à $-\cos(2x)/2$). On cherche cette solution particulière sous la forme $y(x)=c\cos(2x)+d\sin(2x)$. On a alors $$y''(x)-2y'(x)+y(x)=(-3c-4d)\cos(2x)+(4c-3d)\sin(2x).$$ On cherche donc $c$ et $d$ solutions du système $$\left\{ \begin{eqnarray*} -3c-4d&=&1\\ 4c-3d&=&0 \end{eqnarray*} \right.$$ On trouve $c=-3/25$ et $d=-4/25$. Les solutions de l'équation différentielle sont donc les fonctions $$x\mapsto (A+Bx)e^x+\frac{1}{2}+\frac 3{50}\cos(2x)+\frac{2}{25}\sin(2x),\ A,B\in\mathbb R.$$
4. On a déjà résolu l'équation homogène dans une question précédente, et on a vu que ses solutions sont les fonctions $$x\mapsto \left(\lambda \cos\left(\frac{x\sqrt 3}2\right)+\mu\sin\left(\frac{x\sqrt 3}2\right)\right)e^{-x/2},\ \lambda,\mu\in\mathbb R.$$ Pour chercher une solution particulière, on remarque que $e^{x}\cos(x)=\Re e(e^{(1+i)x})$. On va donc chercher une solution particulière de l'équation $y''+y'+y=e^{(1+i)x}$, et on va ensuite prendre la partie réelle de cette solution. Puisque $1+i$ n'est pas racine du polynôme caractéristique, on va chercher une solution de cette équation sous la forme $y(x)=ae^{(1+i)x}$, de sorte que $y'(x)=a(1+i)e^{(1+i)x}$ et $y''(x)=a(1+i)^2e^{(1+i)x}=2aie^{(1+i)x}$. On a alors $$y''(x)+y'(x)+y(x)=a (2+3i)e^{(1+i)x}$$ et donc on obtiendra une solution particulière pour $$a=\frac{1}{2+3i}=\frac{2-3i}{13}.$$ Il reste à calculer la partie réelle de $\frac{2-3i}{13}e^{(1+i)x}$. Mais, \begin{align*} (2-3i)e^{(1+i)x}&=(2-3i)(\cos(x)+i\sin(x))e^x\\ &=(2\cos x+3\sin x)e^x+i(-3\cos(x)+2\sin(x))e^x. \end{align*} Finalement, une solution particulière est donnée par $x\mapsto \frac{2\cos(x)+3\sin(x)}{13}e^x$ et les solutions de l'équation sont les fonctions $$x\mapsto \frac{2\cos(x)+3\sin(x)}{13}e^x+\left(\lambda \cos\left(\frac{x\sqrt 3}2\right)+\mu\sin\left(\frac{x\sqrt 3}2\right)\right)e^{-x/2},\ \lambda,\mu\in\mathbb R.$$