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Supplémentaire et décomposition en somme directe - Bibm@th.net

Exercice 1 - Supplémentaire et décomposition en somme directe [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Dans $E=\mathbb R^4$, on considère les sous-espaces vectoriels $F=\left\{(x,y,z,t)\in\mathbb R^4\mid x+y+z+t=0\right\}$ et $G=\left\{(2a,-a,0,a),\text{ avec } a\in\mathbb R\right\}$. Le but de l'exercice est de démontrer que $F$ et $G$ sont supplémentaires.
  1. Démontrer que $F$ et $G$ sont en somme directe.
  2. Déterminer la dimension de $F$ et celle de $G$.
  3. En déduire que $F$ et $G$ sont supplémentaires.
  4. Trouver l'unique couple $(u_F,u_G)\in F\times G$ tel que $(1,2,3,4)=u_F+u_G$.
Indication
Corrigé