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$$
Bibm@thInégalité de Bernoulli - Bibm@th.net
Enoncé 
Soit $n\geq 2$.
- Étudier la convexité de la fonction $f$ définie sur $[-1;+\infty[$ par $f(x)=(1+x)^n$.
- En déduire que, pour tout $x\geq -1$, $(1+x)^n\geq 1+nx$.
Indication 
-
- Quelle est l'équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ en $0$?
Corrigé
- $f$ est deux fois dérivable sur $[-1,+\infty[$. De plus, pour tout $x\geq -1$, on a
$$f'(x)=n(1+x)^{n-1}\textrm{ et }f''(x)=n(n-1)(1+x)^{n-2}\geq 0.$$
Ainsi, $f''(x)\geq 0$ pour tout $x\geq -1$. On en déduit que $f$ est convexe sur $[-1,+\infty[$.
- Puisque $f'(0)=n$, l'équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point $(0,f(0))$ est
$y-f(0)=f'(0)(x-0)$ soit $y=1+nx$. La fonction étant convexe, sa courbe représentative est au-dessus de ses tangentes.
Donc, pour tout $x\geq -1$, $(1+x)^n\geq 1+nx$.
- Inégalité de Bernoulli