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Une suite monotone - Bibm@th.net

Exercice 1 - Une suite monotone [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(u_n)_{n\geq 1}$ la suite définie par $u_n=\sum_{k=1}^n \frac1{k^2}$.
  1. Démontrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
  2. Démontrer que, pour tout $n\geq 1$, $$\frac{1}{(n+1)^2}\leq \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}.$$
  3. Démontrer que, pour tout $n\geq 1$, $u_n\leq 2-\frac 1n$.
  4. En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.
Indication
Corrigé