Deuxième théorème de Dini - Bibm@th.net

Soit $I=[a,b]$ et $(f_n)$ une suite de fonctions définies sur $I$ à valeurs dans $\mathbb R$. On suppose qu'il existe une fonction $f:I\to\mathbb R$ telle que $(f_n)$ converge simplement vers $f$ sur $I$. On suppose aussi que chaque fonction $f_n$ est croissante, et que $f$ est continue. On fixe $\veps>0$.

1. Justifier l'existence de $\eta>0$ tel que, pour tous $x,y\in [a,b]$, $$|x-y|<\eta\implies |f(x)-f(y)|<\veps.$$
2. Soit $a=x_0<x_1<\cdots<x_p=b$ une subdivision de $[a,b]$ avec $x_{i+1}-x_i<\eta$ pour tout $i=0,\dots,p-1$. Démontrer qu'il existe $N\in\mathbb N$ tel que, pour tout $n\geq N$ et tout $i\in\{0,\dots,p\}$, $$|f_n(x_i)-f(x_i)|<\veps.$$
3. Soit $y\in I$ et soit $i\in\{0,\dots,p\}$ tel que $y\in [a_i,a_{i+1}]$. Démontrer que pour tout $n\in\mathbb N$, $$f(x_i)-f_n(x_{i+1})\leq f(y)-f_n(y)\leq f(x_{i+1})-f_n(x_i).$$
4. En déduire que $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $I$.