Enoncé 
Résoudre les inéquations suivantes :
$$\begin{array}{ll}
\mathbf{1.}\ |x-1|<|x-3|&\quad \mathbf{2.}\ |x-3|\leq |x+8|\\
\mathbf{3.}\ |x+4|\leq |x-2|&\quad \mathbf{4.}\ |x+7|< |x+1|.
\end{array}.$$
Indication 
Interpréter chaque membre comme la distance du réel $x$ à un autre réel sur la droite graduée. Conclure en s'aidant éventuellement d'un dessin.
Corrigé
- On sait que $|x-1|$ est la distance du réel $x$ à $1$ sur la droite graduée, et que $|x-3|$ est la distance du réel $x$ à $3$ sur la droite graduée. On cherche donc les réels $x$ pour lesquels la distance à $1$ est inférieure stricte à la distance à $3$. Il s'agit de l'intervalle $]-\infty;2[$ (remarquer que le crochet est ouvert car l'inégalité est stricte).
- On sait que $|x-3|$ est la distance du réel $x$ à $3$ sur la droite graduée et que $|x+8|=|x-(-8)|$ est la distance du réel $x$ à $-8$ sur la droite graduée. On cherche donc les réels $x$ qui sont plus proches de $3$ que de $-8$. On trouve l'intervalle $[-2,\!5;+\infty[$, le crochet étant fermé car l'inégalité est large.
- En appliquant la même méthode, on trouve $]-\infty;-1]$.
- En appliquant la même méthode, on trouve $]-\infty;-4[$.
