$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}}
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$$
Bibm@thValeurs interdites - Bibm@th.net
Enoncé 
- Résoudre $x^3-x=0$.
- Pour quelles valeurs de $x$ le quotient $\frac{x^3-x}{x-1}$ est-il défini?
- Résoudre $\frac{x^3-x}{x-1}=0$.
Indication 
- Factoriser par $x$, puis utiliser une équation produit-nul.
-
- Attention à la valeur interdite!
Corrigé
- On commence par factoriser par $x$ :
$$x^3-x=x(x^2-1).$$
On sait qu'un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul. On a donc $x^3-x=0$ si et seulement si $x=0$ ou $x^2-1=0$. Cette dernière équation est équivalente à $x^2=1$, c'est-à-dire $x=1$ et $x=-1$. Les solutions de l'équation $x^3-x=0$ sont donc $-1,0,1$.
- Ce quotient est bien défini si le dénominateur n'est pas nul. Or $x-1=0$ si et seulement si $x=1$. Donc le quotient est défini pour toutes les valeurs de $x$ autres que $1$.
- Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur est bien défini. Le numérateur s'annule en $-1$, $0$ et $1$, mais le dénominateur n'est pas défini en $1$. Ainsi, l'ensemble des solutions de
$\frac{x^3-x}{x-1}=0$ est $\mathcal S=\{-1,0\}$.
