Enoncé 
Démontrer que
$$\begin{array}{ll}
\displaystyle\mathbf{1.}\ \frac{1}{\sqrt 2-1}=\sqrt 2+1&
\displaystyle\mathbf{2.}\ \frac{1}{\sqrt 7-1}=\frac{\sqrt 7+1}{6}\\
\displaystyle\mathbf{3.}\ \frac{1}{\sqrt 7-\sqrt 5}=\frac{\sqrt 7+\sqrt 5}{2}.
\end{array}$$
Indication 
Faire la différence des deux quantités et montrer que cette différence est nulle. Pour cela, on pourra mettre les quantités au même dénominateur.
Corrigé
- Pour comparer ces quantités, on va les comparer en les mettant au même dénominateur, c'est-à-dire $\sqrt 2-1$. C'est déjà le dénominateur du premier terme. Pour le second, on a
\begin{align*}
\sqrt 2+1&=\frac{\left(\sqrt 2+1\right)\left(\sqrt 2-1\right)}{\sqrt 2-1}\\
&=\frac{(\sqrt 2)^2-1^2}{\sqrt 2-1}\\
&=\frac{2-1}{\sqrt 2-1}\\
&=\frac{1}{\sqrt 2-1}.
\end{align*}
On a bien prouvé l'égalité demandé.
- On va utiliser une variante de la méthode précédente : deux fractions $\frac ab$ et $\frac cd$ (avec bien sûr $c\neq 0$ et $d\neq 0$) sont égales si et seulement si $ad=bc$ (les produits croisés sont égaux). Appliquant ce résultat à notre exercice, il suffit de prouver que
$$6=(\sqrt 7-1)\times (\sqrt 7+1).$$
Mais, en utilisant l'identité remarquable $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, on a
$$(\sqrt 7-1)\times(\sqrt 7+1)=(\sqrt 7)^2-1^2=7-1=6,$$
ce qui est bien ce que voulait démontrer.
- On utilise la même méthode : il suffit de prouver que
$$2=(\sqrt 7-\sqrt 5)\times (\sqrt 7+\sqrt 5).$$
La preuve est identique, toujours en utilisant la même identité remarquable.
