Somme et produit de deux nombres décimaux - Bibm@th.net

Dans tout l'exercice, on considère deux nombres décimaux $a$ et $b$. Ils s'écrivent alors $$a=\frac{p}{10^n}\textrm{ et }b=\frac{q}{10^m},$$ où $p,q,n,m$ sont des entiers.

1. On calcule le produit $a\times b$ : on a $$a\times b=\frac{p\cdot q}{10^n\times 10^m}=\frac{p\cdot q}{10^{n+m}}.$$ Ainsi, puisque $p\cdot q$ est un entier, $a\times b$ s'écrit bien comme le quotient d'un nombre entier et d'une puissance de $10$ : c'est un nombre décimal.
2. On fait la même chose, mais on va d'abord mettre les nombres au même dénominateur : $$a+b=\frac{p}{10^n}+\frac{q}{10^m}=\frac{10^m\cdot p}{10^n\cdot 10^m}+\frac{10^n\cdot q}{10^n\cdot 10^m}=\frac{10^m\cdot p+10^n\cdot q}{10^{n+m}}.$$ Puisque $10^m\cdot p+10^n \cdot q$ est un entier, on trouve que $a+b$ s'écrit comme le quotient d'un entier et d'une puissance de $10$ : c'est bien un nombre décimal.
3. C'est faux : $3$ est un nombre décimal, mais son inverse $1/3$ ne l'est pas.