Corrigé 
Procédons par l'absurde. Supposons que $7\sqrt 2$ est un nombre rationnel. Alors il existe deux entiers $p$ et $q$ tels que $7\sqrt 2=\frac pq$. On en déduit que
$\sqrt 2=\frac{p}{7q}$. Puisque $p$ et $q$ sont deux entiers, on obtient que $\sqrt 2$ est rationnel, ce qui est faux. Donc $7\sqrt 2$ n'est pas un nombre rationnel.
De la même façon, supposons que $\sqrt 2+4$ est un nombre rationnel. Alors $\sqrt 2+4$ s'écrit $\frac pq$, avec $p$ et $q$ deux entiers (et $q\neq 0$).
Mais alors,
$$\sqrt 2=\frac{p}q-4=\frac p q-\frac{4q}q=\frac{p-4q}q.$$
Puisque $p-4q$ et $q$ sont des entiers, on obtient que $\sqrt 2$ est un rationnel, ce qui est faux. Donc $\sqrt 2+4$ est irrationnel.
Bibm@th
