Corrigé 
On va appliquer le théorème de convergence dominée, mais après le changement de variables $t=x^n$ dans la première intégrale.
On a alors
$$n\int_1^{+\infty}e^{-x^n}dx=\int_1^{+\infty}\frac{e^{-t}}{t}t^{1/n}dt.$$
Posons alors, pour $n\geq 1$ et $t\geq 1$, $f_n(t)=\frac{e^{-t}}{t}t^{1/n}$. Il est clair que, pour tout $t\geq 1$,
$f_n(t)\to \frac{e^{-t}}t$. Pour appliquer le théorème de convergence dominée, il faut encore vérifier l'hypothèse de domination.
Mais, tout $t\geq 1$ et $n\geq 1$, on a $0\leq\frac{t^{1/n}}t=\frac 1{t^{1-\frac 1n}}\leq 1.$ Autrement dit, on a prouvé que, pour tout $t\geq 1$ et tout $n\geq 1$, on a
$$|f_n(t)|\leq e^{-t}.$$
Or, la fonction $t\mapsto e^{-t}$ est intégrable sur $[1,+\infty[$. Il est donc légitime d'appliquer le théorème de convergence dominée et on trouve
\[ \lim_{n\to+\infty} f_n(t)dt=\int_1^{+\infty}\frac{e^{-t}}tdt ,\]
ce qui est le résultat voulu.
Bibm@th
