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Equivalent d'une suite récurrente grâce aux séries - Bibm@th.net

Exercice 1 - Equivalent d'une suite récurrente grâce aux séries [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère une suite $(u_n)$ donnée par $u_1>0$ et $u_{n+1}=\frac{3n-1}{3n} u_n$ pour $n\geq 1$.
  1. Démontrer que $(u_n)$ converge.
  2. On pose, pour $n\geq 1$, $v_n=\ln\left(n^{1/3}u_n\right)$.
    1. Démontrer que $v_{n+1}-v_n=-\frac 2{9n^2}+o\left(\frac 1{n^2}\right)$.
    2. En déduire que la série de terme général $(v_{n+1}-v_n)$ converge.
    3. En déduire que la suite $(v_n)$ converge. On notera $\lambda$ sa limite.
  3. Donner un équivalent simple de $(u_n)$. La série de terme général $u_n$ est-elle convergente?
  4. La série de terme général $(-1)^n u_n$ est-elle convergente?
Indication
Corrigé