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Premier ordre, à coefficients constants - Bibm@th.net

Exercice 1

- Premier ordre, à coefficients constants [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Résoudre les équations différentielles suivantes :

$7y'+2y=2x^3-5x^2+4x-1$;
$y'+2y=x^2-2x+3$;
$y'+y=xe^{-x}$;
$y'-2y=\cos(x)+2\sin(x)$;

Indication

Corrigé

On résout d'abord l'équation sans second membre $7y'+2y=0$. La solution générale est de la forme $y(x)=Ke^{-2x/7}$. On cherche ensuite une solution particulière sous la forme d'un polynôme de degré 3. Si $P(X)=aX^3+bX^2+cX+d$, alors $P$ est une solution de l'équation si et seulement si $$7(3ax^2+2bx+c)+2(ax^3+bx^2+cx+d)=2x^3-5x^2+4x-1\textrm{ pour tout }x\in\mathbb R$$ soit $$2ax^3+(21a+2b)x^2+(14b+2c)x+(7c+2d)=2x^3-5x^2+4x-1\textrm{ pour tout }x\in\mathbb R.$$ Par identification, on trouve que $a,b,c$ et $d$ sont solutions du système $$\left\{ \begin{array}{rcl} 2a&=&2\\ 21a+2b&=&-5\\ 14b+2c&=&4\\ 7c+2d&=&-1 \end{array}\right.$$ On résout ce système et on trouve qu'une solution particulière est donné par $x^3-13x^2+93x-326$. L'ensemble des solutions de l'équation est donnée par les fonctions $$x\mapsto x^3-13x^2+93x-326+Ke^{-2x/7}\textrm{ avec }K\in\mathbb R.$$
On résout l'équation sans second membre $y'+2y=0$ dont la solution générale est $\lambda e^{-2x}$. On cherche ensuite une solution particulière sous la forme d'un polynôme de degré 2, $y(x)=ax^2+bx+c$. On a alors $$y'(x)+2y(x)=2ax^2+(2a+2b)x+(b+2c)$$ et donc $y$ est solution de l'équation différentielle avec second membre si et seulement si $(a,b,c)$ est solution du système $$\left\{ \begin{array}{rcl} 2a&=&1\\ 2a+2b&=&-2\\ b+2c&=&3 \end{array}\right. \iff \left\{ \begin{array}{rcl} a&=&1/2\\ b&=&-3/2\\ c&=&9/4 \end{array}\right.$$ On trouve donc qu'une solution particulière est donnée par $\frac{x^2}{2}-\frac 32x+\frac 94$. Les solutions de l'équation sont donc les fonctions $$x\mapsto \lambda e^{-2x}+\frac{x^2}{2}-\frac 32x+\frac 94,\ \lambda\in\mathbb R.$$
On résout d'abord l'équation sans second membre $y'+y=0$ qui donne $y(x)=K e^{-x}$ avec $K\in\mathbb R$. On cherche ensuite une solution de l'équation complète sous la forme $y(x)=P(x)e^{-x}$, avec $P$ un polynôme. Puisque dans ce cas $y'(x)=P'(x)e^{-x}-P(x)e^{-x}$, on trouve que $y$ est solution de l'équation si et seulement si, pour tout $x\in\mathbb R$, $$P'(x)e^{-x}-P(x)e^{-x}+P(x)e^{-x}=xe^{-x},$$ c'est-à-dire si et seulement si, pour tout $x\in\mathbb R$, $$P'(x)e^{-x}=xe^{-x}\iff P'(x)=x.$$ Le polynôme $P(x)=x^2/2$ convient, et une solution particulière de l'équation complète est donc $\frac{x^2}{2}e^{-x}$. Les solutions de l'équation sont donc les fonctions $$x\mapsto \left(\frac{1}{2}x^2+K\right)e^{-x},\ \textrm{avec }K\in\mathbb R.$$
La solution générale de l'équation sans second membre est $y(x)=Ke^{2x}$, $K\in\mathbb R$. Il y a ensuite plusieurs méthodes pour rechercher une solution particulière. Par exemple, on peut chercher une solution particulière de l'équation $y'-2y=\cos x$. Pour cela, on écrit que $\cos x=\Re e(e^{ix})$ et on cherche une solution de $y'-2y=e^{ix}$. Puisque $e^{ix}$ n'est pas solution de l'équation sans second membre, on cherche une solution particulière sous la forme $y(x)=\alpha e^{ix}$. Cette fonction est solution de $y'-2y=e^{ix}$ si et seulement si $$i\alpha e^{ix}-2\alpha e^{ix}=e^{ix}$$ ie si et seulement si $$\alpha=\frac{1}{-2+i}=\frac{-2-i}{(-2+i)(-2-i)}=-\frac{2+i}{5}.$$ Une solution particulière de $y'-2y=\cos x$ est donc donnée par $$\Re e\left(-\frac{2+i}{5}e^{ix}\right)=-\frac25\cos x+\frac15\sin x.$$ On cherche ensuite une solution particulière de $y'-2y=2\sin x$ en utilisant exactement la même méthode, mais en remarquant que cette fois $\sin x=\Im m(e^{ix})$. Une solution particulière est donc donnée par $$2\Im m\left(-\frac{2+i}{5}e^{ix}\right)=-\frac45\sin x-\frac25\cos x.$$ Par le principe de superposition des solutions, on trouve finalement que l'ensemble des solutions de l'équation différentielle est donnée par les fonctions $$x\mapsto Ke^{2x}-\frac 45\cos x-\frac 35\sin x,\ \textrm{avec }K\in\mathbb R.$$