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Théorème de Maschke - Bibm@th.net

Exercice 1 - Théorème de Maschke [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel de dimension finie, avec $\mathbb K=\mathbb R$ ou $\mathbb K=\mathbb C$. Soit $G$ un sous-groupe fini de $GL(E)$, de cardinal $m$, et $F$ un sous-espace stable commun à tous les éléments de $G$. On désigne par $p$ un projecteur sur $F$ et on note $$p_0=\frac 1m\sum_{u\in G}u\circ p\circ u^{-1}.$$
  1. Démontrer que $p_0$ est un projecteur sur $F$.
  2. Démontrer que, pour tout $v\in G$, $v\circ p_0=p_0\circ v$.
  3. On note $S=\ker(p_0)$. Démontrer que $S$ est stable par tout élément de $G$.
  4. Énoncer le théorème que l'on vient de démontrer.
Indication
Corrigé