Enoncé 
Démontrer que, pour tous $x,y>0$, on a
$$\ln\left(\frac{x+y}2\right)\geq\frac{\ln(x)+\ln(y)}2.$$
Corrigé 
Fixons $y>0$ et considérons la fonction définie sur $]0,+\infty[$ par
$$f(x)=\ln\left(\frac{x+y}{2}\right)-\frac{\ln(x)+\ln(y)}2.$$
Il s'agit de démontrer que $f(x)\geq 0$ pour tout $x\in\mathbb R$. Pour cela, on va étudier les variations de $f$. $f$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ et vérifie
$$f'(x)=\frac{1}{x+y}-\frac{1}{2x}=\frac{x-y}{2x(x+y)}.$$
Ainsi $f'(x)\geq 0$ si $x\geq y$ et $f'(x)\leq 0$ si $x\leq y$. Autrement dit, $f$ est décroissante sur $]0,y[$ et croissante sur $]y,+\infty[$. Puisque $f(y)=0$, on en déduit bien que $f(x)\geq 0$ pour tout $x\in ]0,+\infty[$. On pourrait même démontrer que l'inégalité est stricte si $x\neq y$, car les monotonies prouvées ci-dessus sont strictes.
