Bibliothèque d'exercices > Accéder à mon compte > Accéder à ma feuille d'exercices > Point fixe - Bibm@th.netExercice 1 - Point fixe [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $f:[0,1]\to[0,1]$ une fonction continue. Démontrer que $f$ admet toujours au moins un point fixe.Indication Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires à $g(x)=f(x)-x$.Corrigé Posons $g(x)=f(x)-x$. $g$ est une fonction continue. Puisque $f(0)\geq 0$ et $f(1)\leq 1$, on a $g(0)\geq 0$ et $g(1)\leq 0$. Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe $c\in[0,1]$ tel que $g(c)=0$. En particulier, $f(c)=c$.