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Espaces bien enchainés - Bibm@th.net

Exercice 1 - Espaces bien enchainés [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(E,d)$ un espace métrique et $x,y\in E$. On dit qu'il existe une $\veps$-chaine reliant $x$ à $y$ s'il existe $x=x_1,x_2,\dots,x_n=y$ un nombre fini de points de $E$ tels que $d(x_i,x_{i+1})<\veps$ pour tout $i=1,\dots,n-1$. On dit que $E$ est bien enchaîné si, pour tout $\veps>0$ et tous $x,y\in E$, il existe une $\veps$-chaine reliant $x$ à $y$.
  1. Pour $x\in E$ et $\veps>0$, on pose $A(x,\veps)=\{y\in E;$ il existe une $\veps$-chaine reliant $x$ à $y\}$. Démontrer que $A$ est ouvert et fermé.
  2. En déduire que si $E$ est connexe, alors $E$ est bien enchainé.
  3. La réciproque est-elle vraie?
  4. On suppose que $E$ est compact et bien enchaîné. Démontrer que $E$ est connexe.
Indication
Corrigé