Perpendiculaire commune - Bibm@th.net

Rappelons la méthode générale pour trouver une perpendiculaire commune à deux droites $(D1)$ et $(D2)$ de l'espace non parallèles. On détermine dans l'ordre :

• $\vec u$ et $\vec v$ des vecteurs directeurs respectifs de $(D1)$ et $(D2)$;
• $\vec n=\vec u\wedge \vec v$;
• $P1$ le plan contenant $(D1)$ et dont $\vec n$ est un vecteur directeur;
• $B$ l'intersection de $P1$ et $(D2)$.

La perpendiculaire commune de $(D1)$ et $(D2)$ est la droite passant par $B$ et de vecteur directeur $\vec n$.

1. On a successivement
   • $\vec u=(2,1,-1)$ et $\vec v=\begin{pmatrix}3\\2\\4\end{pmatrix}\wedge\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}$;
   • $\vec n=\vec u\wedge\vec v=\begin{pmatrix}2\\0\\4\end{pmatrix}$;
   • Le point $A(3,1,2)$ est un point de $(D1)$ et $P1$ est dirigé par $\vec u$ et $\vec v$. On a donc $M(x,y,z)\in P1$ si et seulement si $\overrightarrow{AM}.(\vec u\wedge\vec n)=0$. Une équation de $P1$ est donc $2x-5y-z+1=0$.
   • Les coordonnées du point $B$ intersection de $P1$ et $(D2)$ sont solutions du système : $$\left\{\begin{array}{rcl} 2x-5y-z&=&-1\\ 3x+2y+4z&=&-8\\ x+y+z&=&0 \end{array}\right.$$ La résolution du système donne $B(3,5/2,-11/2)$.
   La perpendiculaire commune $(\Delta)$ a donc pour équation paramétrique : $$\left\{\begin{array}{rcl} x&=&3+t\\ y&=&5/2\\ z&=&\frac{-11}2+2t \end{array}\right.$$ Finalement, pour calculer la distance de $(D1)$ à $(D2)$, on cherche les coordonnées de $A$ l'intersection de $(D1)$ et $(\Delta)$. On trouve $A(6,5/2,1/2)$. Finalement, la distance recherchée est $AB=3\sqrt 5$.
2. On reprend la même méthode et on trouve :
   • $\vec u=(-1,0,1)$ et $\vec v=(1,-1,-1)$;
   • $\vec n=(1,0,1)$;
   • $P1$ d'équation $y=-1$.
   • $B(1,-1,0)$.
   La perpendiculaire commune $(\Delta)$ a donc pour équation paramétrique $(x=1+t,y=-1,z=t)$. Le point $A$ d'intersection de $(D1)$ et $(\Delta)$ a pour coordonnées $A(3/2,-1,1/2)$. La distance de $(D1)$ à $(D2)$ est donc $AB=\sqrt 2/2$.