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Variable aléatoire sans mémoire - Bibm@th.net

Exercice 1 - Variable aléatoire sans mémoire ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

On dit qu'une variable aléatoire $T$ à valeurs dans $\mathbb R_+$ est sans mémoire, ou sans vieillissement, si elle vérifie, pour tous $s,t> 0$ $$P(T>t+s|T>s)=P(T>t).$$ On rappelle qu'une variable aléatoire suivant une loi exponentielle est sans mémoire, et cet exercice se propose d'étudier la réciproque. On fixe donc $T$ une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb R_+,$ sans mémoire, et vérifiant $P(T>0)>0.$

Démontrer que pour tous $s,t\in\mathbb R_+,$ $$P(T> t+s)=P(T>t)P(T>s).$$
On suppose dans cette question que $T$ admet une densité $f,$ c'est-à-dire qu'il existe une fonction continue $f:[0,+\infty[$ dans $\mathbb R$ tel que, pour tout intervalle $I\subset[0,+\infty[,$ on a $P(T\in I)=\int_I f(t)dt.$ On pose $R(t)=P(T>t).$
1. Que valent $R(0)=0$ et $\lim_{x\to+\infty}R(x)$ ?
2. Justifier que $R$ est dérivable sur $[0,+\infty[$ et calculer sa dérivée.
3. Déterminer toutes les fonctions $g:\mathbb R_+\to\mathbb R_+$ dérivables et telles que, pour tous $s,t\in\mathbb R_+,$ $g(t+s)=g(t)g(s).$
4. Conclure qu'il existe $\lambda>0$ tel que $f(t)=\lambda e^{-\lambda t}$ pour tout $t\geq 0.$
On ne suppose plus a priori dans cette question que $T$ admet une densité, et on veut tout de même conclure au même résultat.
1. On suppose qu'il existe $t>0$ tel que $P(T>t)=0$. Calculer $P(T>t/2^n)$ en fonction de $P(T>t)$. En déduire que $P(T>0)=0$. Conclusion?
2. Soit $\alpha=P(T>1)$. On souhaite démontrer que $P(T>t)=\alpha^t$ pour tout $t\in\mathbb R_+$.
  1. Démontrer ce résultat si $t\in\mathbb N^*$.
  2. On suppose $t\in\mathbb Q_+^*$ et on note $t=p/q$. Démontrer que $$P(T>p)=\big(P(T>p/q)\big)^q$$ et en déduire que le résultat est vrai pout $t\in\mathbb Q_+^*$.
  3. En utilisant la décroissance de $x\mapsto P(T>x)$, démontrer que le résultat est vrai pour tout $t\in\mathbb R_+$.
3. Conclure.

Indication

Corrigé

Utilisons la formule des probabilités totales avec le système complet d'événements $(T>s)$ et $(T\leq s).$ On a $$P(T>t+s)=P(T>t+s|T>s)P(T>s)+P(T>t+s|T\leq s)P(T\leq s).$$ Bien entendu, on a $P(T>t+s|T\leq s)=0,$ et en utilisant la définition d'une variable aléatoire sans mémoire, on trouve bien $$P(T>t+s)=P(T>t)P(T>s).$$
1. On a $$R(0)=P(T>0)=P(T\geq 0)=1$$ puisque $P(T=0)=0$ (car $T$ est une variable à densité) et puisque $T$ est valeurs dans $[0,+\infty[.$ D'autre part, $$\lim_{x\to+\infty}R(x)=\lim_{x\to+\infty}\int_x^{+\infty}f(t)dt=0$$ (c'est le reste d'une intégrale convergente).
2. On peut écrire $$R(x)=\int_x^{+\infty}f(t)dt)=\int_0^{+\infty}f(t)dt-\int_0^x f(t)dt.$$ Ainsi, la fonction $R$ est dérivable sur $\mathbb R_+,$ et pour tout $x\geq 0,$ on a $R'(x)=-f(x).$
3. Fixons $t\in\mathbb R_+$ et dérivons par rapport à $s$ l'égalité. On obtient, pour tous $s,t\in\mathbb R_+,$ $$g'(s+t)=g'(s)g(t).$$ Pour $s=0,$ on a $g'(t)=g'(0)g(t)$ et donc si on pose $\alpha=g'(0),$ on trouve qu'il existe $C\in\mathbb R$ tel que, pour tout $t\in\mathbb R_+,$ $g(t)=C\exp(\alpha t).$ Réciproquement, de telles fonctions conviennent !
4. On sait donc qu'il existe $C,\alpha\in\mathbb R$ tel que $R(t)=Ce^{\alpha t}.$ Comme $R(0)=1,$ on a $C=1$ et comme $\lim_{x\to+\infty}R(x)=0,$ on a aussi $\alpha<0.$ Si on pose $\lambda=-\alpha>0,$ on trouve que pour tout $t\in\mathbb R_+,$ $$f(t)=R'(t)=\lambda e^{-\lambda t}.$$
1. On va prouver par récurrence sur $n$ que $P(T>t/2^n)=0$. C'est vrai pour $n=0$ et si c'est vrai au rang $n$, alors $$P(T>(t/2^{n+1}+t/2^{n+1}))=P(T>t/2^{n+1})P(T>t/2^{n+1})$$ ce qui implique $$P(T>t/2^n)=\big(P(T>t/2^{n+1})\big)^2,$$ ce qui prouve que $P(T>2^{n+1})=0$. Mais alors, la suite d'événements $(A_n)$ définie par $A_n=T>t/2^n$ est une suite croissante d'événements, et $\bigcup_n A_n=(T>0)$. On en déduit que $$P(T>0)=\lim_{n\to+\infty}P(T>t/2^n)=0,$$ ce qui contredit l'hypothèse faite sur $T$. On a donc $P(T>t)>0$ pour tout $t\geq 0$.
2. 1. On commence par prouver par récurrence sur $n$ entier non-nul que $P(T>n)=\alpha^n$. C'est vrai pour $n=1$, et si c'est vrai au rang $n$, alors $$P(T>n+1)=P(T>n)P(T>1)=\alpha^n\alpha=\alpha^{n+1}.$$
  2. Soit maintenant $t=p/q$ appartenant à $\mathbb Q_+^*$, avec $p,q$ des entiers strictement positifs. On a alors : \begin{eqnarray*} P(T>p)&=&P(T>p/q+\dots+p/q)\quad\textrm{ (avec $q$ termes dans la somme)}\\ &=&P(T>p/q)P(T>p/q+\dots+p/q) \end{eqnarray*} où cette fois il n'y a plus que $q-1$ termes dans la somme. Par une récurrence facile, on en déduit que $$P(T>p)=\big(P(T>p/q)\big)^q$$ soit $$P(T>p/q)=\big(P(T>p)\big)^{1/q}=\alpha^{p/q}.$$
  3. Soit finalement $t\in\mathbb R_+^*$. Il existe deux suites de rationnels $(x_n)$ et $(y_n)$ avec $x_n\leq t\leq y_n$ pour tout $n$ et les suites $(x_n)$, $(y_n)$ convergent vers $t$. On a de plus $$\alpha^{y_n}=P(T>y_n)\leq P(T>t)\leq P(T>x_n)=\alpha^{x_n}.$$ On passe à la limite quand $n$ tend vers $+\infty$ et on trouve $$\alpha^t\leq P(T>t)\leq \alpha^t$$ ce qui donne le résultat voulu.
3. La fonction de répartition de $T$ est définie, pour $t>0$, par $$F_T(t)=1-P(T>t)=1-\alpha^t$$ et bien sûr $F_T(t)=0$ si $t\leq 0.$ La fonction de répartition est continue et dérivable sur $]0,+\infty[$. Ainsi, $T$ est une variable aléatoire à densité, dont on calcule la densité comme dérivée de la fonction de répartition. Or, la dérivée de $t\mapsto 1-\alpha^t$ est $t\mapsto -\ln\alpha \alpha^t=-\ln\alpha\exp(t\ln \alpha)$. C'est bien la densité d'une loi exponentielle de paramètre $\lambda=-\ln \alpha>0$.