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Variable aléatoire sans mémoire - Bibm@th.net

Exercice 1

- Variable aléatoire sans mémoire [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

On dit qu'une variable aléatoire $T$ à valeurs dans $\mathbb R_+$ est sans mémoire si elle vérifie, pour tous $s,t> 0.$ $$P(T> t+s)=P(T>t)P(T>s).$$

Vérifier qu'une variable aléatoire $T$ vérifiant une loi exponentielle de paramètre $\lambda>0$, c'est-à-dire dont la densité est donnée par $f(t)=\lambda\exp(-\lambda t)\mathbf 1_{[0,+\infty[}(t)$ est une variable aléatoire sans mémoire.
Réciproquement, soit $T$ une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb R_+$ sans mémoire et vérifiant $P(T>0)>0$.
1. On suppose qu'il existe $t>0$ tel que $P(T>t)=0$. Calculer $P(T>t/2^n)$ en fonction de $P(T>t)$. En déduire que $P(T>0)=0$. Conclusion?
2. Soit $\alpha=P(T>1)$. On souhaite démontrer que $P(T>t)=\alpha^t$ pour tout $t\in\mathbb R_+$.
  1. Démontrer ce résultat si $t\in\mathbb N^*$.
  2. On suppose $t\in\mathbb Q_+^*$ et on note $t=p/q$. Démontrer que $$P(T>p)=\big(P(T>p/q)\big)^q$$ et en déduire que le résultat est vrai pout $t\in\mathbb Q_+^*$.
  3. En utilisant la décroissance de $x\mapsto P(T>x)$, démontrer que le résultat est vrai pour tout $t\in\mathbb R_+$.
3. Conclure.
Justifier le terme "sans mémoire". On pourra calculer $P(T>s+t|T>s)$.

Indication

Corrigé

Il s'agit simplement de calculer la fonction de répartition d'une loi exponentielle. Mais, par intégration, $$P(T>t)=\int_{t}^{+\infty}\lambda e^{-\lambda t}dt=e^{-\lambda t},$$ ce qui entraîne facilement que $T$ est sans mémoire.
1. On va prouver par récurrence sur $n$ que $P(T>t/2^n)=0$. C'est vrai pour $n=0$ et si c'est vrai au rang $n$, alors $$P(T>(t/2^{n+1}+t/2^{n+1}))=P(T>t/2^{n+1})P(T>t/2^{n+1})$$ ce qui implique $$P(T>t/2^n)=\big(P(T>t/2^{n+1})\big)^2,$$ ce qui prouve que $P(T>2^{n+1})=0$. Mais alors, la suite d'événements $(A_n)$ définie par $A_n=T>t/2^n$ est une suite croissante d'événements, et $\bigcup_n A_n=(T>0)$. On en déduit que $$P(T>0)=\lim_{n\to+\infty}P(T>t/2^n)=0,$$ ce qui contredit l'hypothèse faite sur $T$. On a donc $P(T>t)>0$ pour tout $t\geq 0$.
2. 1. On commence par prouver par récurrence sur $n$ entier non-nul que $P(T>n)=\alpha^n$. C'est vrai pour $n=1$, et si c'est vrai au rang $n$, alors $$P(T>n+1)=P(T>n)P(T>1)=\alpha^n\alpha=\alpha^{n+1}.$$
  2. Soit maintenant $t=p/q$ appartenant à $\mathbb Q_+^*$, avec $p,q$ des entiers strictement positifs. On a alors : \begin{eqnarray*} P(T>p)&=&P(T>p/q+\dots+p/q)\quad\textrm{ (avec $q$ termes dans la somme)}\\ &=&P(T>p/q)P(T>p/q+\dots+p/q)\quad\textrm{ (avec $q-1$ termes dans la somme)}\\ &=&\big(P(T>p/q)\big)^q \end{eqnarray*} soit $$P(T>p/q)=\big(P(T>p)\big)^{1/q}=\alpha^{p/q}.$$
  3. Soit finalement $t\in\mathbb R_+^*$. Il existe deux suites de rationnels $(x_n)$ et $(y_n)$ avec $x_n\leq t\leq y_n$ pour tout $n$ et les suites $(x_n)$, $(y_n)$ convergent vers $t$. On a de plus $$\alpha^{y_n}=P(T>y_n)\leq P(T>t)\leq P(T>x_n)=\alpha^{x_n}.$$ On passe à la limite quand $n$ tend vers $+\infty$ et on trouve $$\alpha^t\leq P(T>t)\leq \alpha^t$$ ce qui donne le résultat voulu.
3. La fonction de répartition de $T$ est définie, pour $t>0$, par $$F_T(t)=1-P(T>t)=1-\alpha^t.$$ La fonction de répartition est dérivable sur $]0,+\infty[$, on retrouve la densité de $T$ en la dérivant. Or, la dérivée de $t\mapsto 1-\alpha^t$ est $t\mapsto -\ln\alpha \alpha^t=-\ln\alpha\exp(t\ln \alpha)$. C'est bien la densité d'une loi exponentielle de paramètre $\lambda=-\ln \alpha>0$.
On a $$P(T>t+s|T>s)=\frac{P\big(T>t+s)\cap (T>s)\big)}{P(T>s)}=\frac{P(T>t+s)}{P(T>s)}=P(T>t).$$ Si $T$ modélise la durée de vie d'un composant, elle modélise une durée de vie "sans vieillissement". Si le composant a déjà vécu $s$ minutes, il vivra $t$ minutes de plus avec la même probabilité qu'un composant neuf vive au moins $t$ minutes.