\'Equation fonctionnelle - Bibm@th.net
Enoncé 
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ continue telle que,
$$\forall (x,y)\in\mathbb R^2,\ f(x+y)=f(x)+f(y).$$
- Déterminer $f(0)$.
- Démontrer que $f$ est impaire.
- Démontrer que, pour tout $n\geq 1$ et tout $x\in\mathbb R$, $f(nx)=nf(x)$.
- Démontrer que, pour tout $n\in\mathbb Z$ et tout $x\in\mathbb R$, $f(nx)=nf(x)$.
- Démontrer que pour tout nombre rationnel $r=\frac{p}q$ et pour tout $x\in\mathbb R$, on a $$f\left(\frac pq x\right)=\frac pqf(x)$$ (on pourra écrire $p=q\times\frac pq$).
- Conclure qu'il existe $a\in\mathbb R$ tel que, pour tout $x\in\mathbb R$, $f(x)=ax$.
