Soit $\veps>0$ et $a=\lim_{+\infty}f$. Alors on sait qu'il existe $A>0$ tel que, pour tout $x\geq A$, on a
$$|f(x)-a|<\veps/2.$$
D'autre part, d'après le théorème de Heine, $f$ est uniformément continue sur le segment $[0,A+1]$ : il existe $\eta>0$ tels que, pour tous
$x,y\in[0,A+1]$ avec $|x-y|<\eta$, on a $|f(x)-f(y)|<\veps$. Quitte à le réduire, on peut toujours supposer $\eta<1$. Prouvons maintenant que $f$ est uniformément continue sur $\mathbb R_+$ en prenant
deux élements $x,y\in\mathbb R_+$ avec $|x-y|<\eta$. On distingue deux cas :
- Si $x\in[0,A]$ ou $y\in[0,A]$, alors, puisque $|x-y|<\eta<1$, on a $x$ et $y$ qui sont éléments de $[0,A+1]$. On a donc bien
$$|f(x)-f(y)|<\veps.$$
- Sinon, on a $x\geq A$ et $y\geq A$. On passe alors par $a$ :
$$|f(x)-f(y)|=|f(x)-a+a-f(y)|\leq |f(x)-a|+|f(y)-a|<\veps.$$
Ainsi, on a bien prouvé que $f$ est uniformément continue sur $\mathbb R_+$. Remarquons l'intérêt d'utiliser le théorème de Heine
sur $[0,A+1]$ et non sur $[0,A]$. Il faut travailler sur quelque chose de plus grand que $[0,A]$ pour éviter les problèmes de raccord.
Bibm@th
