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Une suite récurrente - Bibm@th.net

Exercice 1 - Une suite récurrente [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(u_n)$ la suite réelle définie par $u_0=1$ et, pour tout $n\geq 0$, $$u_{n+1}=\sum_{k=0}^n u_ku_{n-k}.$$
  1. On suppose que la série entière $f(x)=\sum_{n\geq 0}u_nx^n$ a un rayon de convergence strictement positif $r>0$. Démontrer que, pout tout $x\in\mathbb ]-r,r[$, on a $xf^2(x)-f(x)+1=0$.
  2. En déduire qu'il existe $\rho>0$ tel que $f(x)=\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}$ pour tout $x\in]-\rho,\rho[$, $x\neq 0$.
  3. En développant en série entière la fonction précédente, calculer $u_n$ en fonction de $n$.
Indication
Corrigé