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Rayon de convergence et somme - 2 - Bibm@th.net

Exercice 1

- Rayon de convergence et somme - 2 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Pour les séries entières suivantes, donner le rayon de convergence et exprimer leur somme en termes de fonctions usuelles : $$\begin{array}{llllll} \mathbf{1.}\quad \sum_{n\geq 0}\frac{x^{2n}}{2n+1}&\quad\quad&\mathbf{2.}\quad \sum_{n\geq 0}\frac{n^3}{n!}x^n&\quad\quad&\mathbf{3.}\quad \sum_{n\geq 0}(-1)^{n+1} nx^{2n+1}\\ \mathbf{4.}\quad \sum_{n\geq 0}\frac{x^{2n}}{4n^2-1}. \end{array}$$

Indication

Corrigé

Posons $u_n=\frac{x^{2n}}{2n+1}$. On a $u_{n+1}/u_n\to x^2$. Ainsi, si $|x|<1$, la série est convergente et si $|x|>1$, la série est divergent. Autrement dit, on a prouvé que le rayon de convergence est égal à $1$. Posons, pour $x\in ]-1,1[$, $S(x)$ la somme de la série entière. Alors $S$ est dérivable sur $]-1,1[$ et $$(xS)'(x)=\sum_{n\geq 0}x^{2n}=\frac{1}{1-x^2}=\frac{1/2}{1-x}+\frac{1/2}{1+x}.$$ Par intégration, on en déduit que pour tout $x\in]-1,1[$, on a $$xS(x)=\frac 12\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$$ et donc, pour $x\neq 0$, $$S(x)=\frac1{2x}\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right).$$ De plus, $S(0)=1$.
Posons $u_n=\frac{n^3}{n!}$. On a $$\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{1}{n+1}\times\frac{(n+1)^3}{n^3}\to 0.$$ Par le critère de d'Alembert, le rayon de convergence de la série étudiée est égal à $+\infty$. Pour la sommer, on va exprimer $n^3$ en fonction de $n(n-1)(n-2)$, $n(n-1)$ et $n$ pour se ramener à des séries dérivées. On a en effet : $$n^3=n(n-1)(n-2)+3n(n-1)+n.$$ Utilisant que la dérivée de $\exp(x)$ est égale à $\exp(x)$, on trouve $$\sum_{n\geq 0}\frac{n(n-1)(n-2)}{n!}x^{n}=x^3\sum_{n\geq 0}\frac{n(n-1)(n-2)}{n!}x^{n-3}=x^3\exp(x).$$ De même, on a $$\sum_{n\geq 0}\frac{n(n-1)}{n!}x^{n}=x^2\exp(x)\textrm{ et }\sum_{n\geq 0}\frac{n}{n!}x^{n}=x\exp(x).$$ On conclut que $$\sum_{n\geq 0}\frac{n^3}{n!}x^n=(x^3+3x^2+x)\exp(x).$$
Il est clair, d'après la règle de d'Alembert, que le rayon de convergence est égal à 1. De plus, si on pose $f(x)=\frac1{1+x}$, on a pour tout $x\in]-1,1[$, $$f(x)=\sum_{n\geq 0}(-1)^n x^n.$$ En dérivant, il vient $$-\frac{x}{(1+x)^2}=xf'(x)=\sum_{n\geq 0}(-1)^n n x^n,$$ soit finalement $$\sum_{n\geq 0}(-1)^{n+1} nx^{2n+1}=x\times\left(\frac {x^2}{(1+x^2)^2}\right)=\frac{x^3}{(1+x^2)^2}.$$
Il est facile de vérifier, à l'aide de la règle de d'Alembert, que le rayon de convergence de la série entière vaut $1$. On décompose ensuite en éléments simples la fraction rationnelle. On trouve $$\frac{1}{4n^2-1}=\frac{1/2}{2n-1}-\frac{1/2}{2n+1}.$$ Posons $f(x)=\sum_{n\geq 0}\frac{x^{2n}}{2n+1}$ et $g(x)=\sum_{n\geq 0}\frac{x^{2n}}{2n-1}.$ Alors, d'après la première question, on sait que pour $x\neq 0$, on a $$f(x)=\frac1{2x}\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right).$$ On se ramène à ce cas pour $g$, en remarquant que \begin{eqnarray*} g(x)&=&-1+\sum_{n\geq 1}\frac{x^2 x^{2(n-1)}}{2(n-1)+1}\\ &=&-1+x^2\sum_{n\geq 0}\frac{x^{2n}}{2n+1}\\ &=&-1+x^2 f(x). \end{eqnarray*} Finalement, on trouve que, notant $S$ la somme de la série initiale, pour $x\neq 0$ dans l'intervalle $]-1,1[$, $$S(x)=-\frac12+\frac{x^2-1}{4x}\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right).$$ Il est aussi clair que $S(0)=-1$.