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Une condition suffisante pour l'existence d'un développement en série entière - Bibm@th.net

Exercice 1 - Une condition suffisante pour l'existence d'un développement en série entière [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $a>0$ et $f:[-a,a]\to\mathbb R$ une fonction de classe $\mathcal C^\infty$ telle qu'il existe $C,A>0$ vérifiant, pour tout $n\in\mathbb N$, $$\|f^{(n)}\|_\infty\leq C\cdot A^n \cdot n!$$ (on a noté $\|g\|_\infty=\sup_{x\in[-a,a]}|g(x)|$). Démontrer que $f$ est développable en série entière en $0$.
Indication
Corrigé