$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}}
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$$
Fonction définie par une intégrale - Bibm@th.net
Enoncé 
- Pour tout $n\in\mathbb N$, calculer l'intégrale de Wallis $I_{2n}=\int_0^{\pi}\sin^{2n}xdx$ à l'aide de la formule
$2i\sin x=e^{ix}-e^{-ix}$.
- Justifier que, tout $u\in]-1,1[$, on a
$$\frac1{\sqrt{1-u}}=\sum_{n\geq 0}\frac{1}{4^n}\binom{2n}n u^n.$$
- Pour tout $x\in]-1,1[$, on pose
$$f(x)=\int_0^{\pi}\frac{dt}{\sqrt{1-x^2\sin^2 t}}.$$
Démontrer que $f$ est développable en série entière sur $]-1,1[$ et donner son développement.
Indication 
- Appliquer la formule du binôme de Newton.
- Utiliser le résultat du cours.
- Développer en série entière la fonction sous l'intégrale, puis permuter la somme et l'intégrale.
Corrigé
- Utilisant l'indication, on a
\begin{eqnarray*}
I_{2n}&=&\frac{1}{(2i)^{2n}}\int_0^\pi(e^{ix}-e^{-ix})^{2n}dx\\
&=&\frac{(-1)^n}{4^n}\int_0^{\pi}\sum_{k=0}^{2n}(-1)^k \binom{2n}k(e^{ix})^{2n-k}(e^{-ix})^kdx\\
&=&\frac{(-1)^n}{4^n}\sum_{k=0}^{2n}(-1)^k \binom{2n}{k}\int_0^{\pi}e^{(2n-2k)ix}dx.
\end{eqnarray*}
Or, cette dernière intégrale est nulle sauf si $n=k$, où elle vaut $\pi$. Il vient
$$I_{2n}=\frac{\pi\binom{2n}n}{4^n}.$$
- On sait, que pour tout $u\in]-1,1[$, on a
\begin{eqnarray*}
\frac1{\sqrt{1-u}}&=&(1-u)^{-1/2}\\
&=&\sum_{n\geq 0} (-1)^n\frac{\frac{-1}2\times\left(-\frac12-1\right)\times\dots\times\left(-\frac12-n+1\right)}{n!}u^n\\
&=&\sum_{n\geq 0} (-1)^n \frac{(-1)\times (-3)\times\dots\times(-2n+1)}{2^n n!}u^n\\
&=&\sum_{n\geq 0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2}u^n.
\end{eqnarray*}
- D'après la question précédente, appliquée à $u=x^2\sin^2t \in]-1,1[$, on a
$$f(x)=\int_0^\pi \sum_{n\geq 0}\frac{1}{4^n}\binom{2n}{n}x^{2n}\sin^{2n}tdt.$$
On va permuter la limite et l'intégrale. Pour cela, on remarque que la série est uniformément convergente pour
$t\in [0,\pi]$ (on travaille avec $x$ fixé). En effet, on a $|x\sin t|\leq |x|<1$, et on sait que
la série $\sum_{n\geq 0}\frac{1}{4^n}\binom{2n}{n}|x|^{2n}$ est convergente puisque le développement en série
entière de $\frac1{\sqrt {1-u}}$ a pour rayon de convergence 1. On peut donc inverser la limite et l'intégrale, et on trouve :
\begin{eqnarray*}
f(x)&=&\sum_{n\geq 0}\frac{1}{4^n}\binom{2n}{n}x^{2n}\int_0^\pi\sin^{2n}tdt\\
&=&\sum_{n\geq 0}\frac{\pi}{16^n}{\binom{2n}n}^2x^{2n}.
\end{eqnarray*}
La fonction $f$ est bien développable en série entière sur $]-1,1[$.
