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Méthode de l'équation différentielle - Bibm@th.net

Exercice 1

- Méthode de l'équation différentielle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Soit $f$ l'application définie sur $]-1,1[$ par $f(t)=\cos(\alpha\arcsin t)$, $\alpha\in\mathbb R$.

Former une équation différentielle linéaire du second ordre vérifiée par $f$.
Chercher les solutions de l'équation différentielle obtenue qui sont développables en série entière et vérifient $y(0)=1$ et $y'(0)=0$.
En déduire que $f$ est développable en série entière sur $]-1,1[$, et donner son développement.

Indication

Corrigé

On dérive deux fois $f$ : \begin{eqnarray*} f(t)&=&\cos(\alpha\arcsin t)\\ f'(t)&=&\frac{-\alpha}{\sqrt{1-t^2}}\sin(\alpha\arcsin t)\\ f''(t)&=&\frac{-\alpha^2}{1-t^2}\cos(\alpha\arcsin t)-\frac{\alpha t}{\sqrt{1-t^2}(1-t^2)}\sin(\alpha\arcsin t). \end{eqnarray*} On combine d'abord $f$ et $f''$ pour éliminer les termes en $\cos(\alpha\arcsin t)$ puis on ajoute les termes en $f'$ nécessaires pour éliminer les termes en $\sin(\alpha\arcsin t)$. Au final, on trouve que $f$ est solution de l'équation différentielle suivante : $$(1-t^2)y''-ty'+\alpha^2 y=0.$$
On suppose qu'il existe une solution développable en série entière $y(t)=\sum_{n\geq 0}a_n t^n$ sur $]-R,R[$ vérifiant $y(0)=1$ et $y'(0)=0$. $y'$ est somme de $\sum_{n\geq 0}(n+1)a_{n+1}t^n$ et $y''$ est somme de $\sum_{n\geq 0}(n+1)(n+2)a_{n+2}t^n$. La fonction $t\mapsto (1-t^2)y''-ty'+\alpha^2 y$ est donc somme de la série entière $$\sum_{n\geq 0}\big((n+1)(n+2)a_{n+2}+(-n(n-1)-n+\alpha^2)a_n\big)t^n.$$ Ceci doit être identiquement nul sur $]-R,R[$. Par unicité du développement en série entière, on obtient, pour tout $n\in\mathbb N$, $$(n+1)(n+2)a_{n+2}=(n^2-\alpha^2)a_n.$$ Puisque $a_0=1$ (car $y(0)=1$) et $a_1=y'(0)=0$, on en déduit que $a_{2p+1}=0$ pour tout $p$ et que $$a_{2p}=\frac{(-4)^p}{(2p)!}\frac{\alpha}2\left(\frac\alpha 2-p+1\right)\left(\frac\alpha 2-p+2\right)\dots\left(\frac\alpha 2+p-1\right).$$ Réciproquement, la série entière $$\sum_{p\geq 0}\frac{(-4)^p}{(2p)!}\frac{\alpha}2\left(\frac\alpha 2-p+1\right)\left(\frac\alpha 2-p+2\right)\dots\left(\frac\alpha 2+p-1\right)x^{2p}$$ a un rayon de convergence égal à 1 (on le vérifie facilement par la règle de d'Alembert) et est, en remontant les calculs, solution de l'équation différentielle avec les conditions initiales voulues.
L'équation différentielle $(1-t^2)y''-ty'+\alpha^2 y=0$ est une équation différentielle linéaire du second ordre, et $1-t^2\neq 0$ sur $]-1,1[$. Il existe donc une unique solution à cette équation définie sur $]-1,1[$ et vérifiant $y(0)=1$ et $y'(0)=0$. $f$ et la série entière trouvée à la question précédente conviennent. On en déduit qu'elles sont égales. Autrement dit, $f$ est développable en série entière, et $$f(x)=\sum_{p\geq 0}\frac{(-4)^p}{(2p)!}\frac{\alpha}2\left(\frac\alpha 2-p+1\right)\left(\frac\alpha 2-p+2\right)\dots\left(\frac\alpha 2+p-1\right)x^{2p}.$$