On décompose $f$ en éléments simples. Puisque le degré du numérateur est inférieur à celui du dénominateur, on sait qu'il existe
$a,b,c\in\mathbb R$ tels que
$$f(x)=\frac{a}{x-2}+\frac{b}{(x-2)^2}+\frac{c}{2x-1}.$$
Si on multiplie les deux membres par $2x-1$ et qu'on fait $x=1/2$, on trouve $c=\frac{1/4+1/2-3}{9/4}=-1$.
De même, multipliant par $(x-2)^2$, on trouve $b=1$. Pour trouver $a$, on peut procéder par identification et on obtient $a=1$.
On développe en série entière chaque terme :
- Pour $x\neq 2$,
$$\frac{1}{x-2}=-\frac{1}{2-x}=-\frac12\times \frac{1}{1-x/2}.$$
Donc, pour $|x|/2< 1$, on a
$$\frac{1}{x-2}=-\frac12\times\sum_{n=0}^{+\infty}\frac {x^n}{2^n}=\sum_{n=0}^{+\infty}-\frac{1}{2^{n+1}}x^{n}.$$
- Le troisième terme se traite de la même façon. Pour $|x|<1/2$, on a
$$\frac{-1}{2x-1}=\frac1{1-2x}=\sum_{n=0}^{+\infty}2^n x^n.$$
- Pour le deuxième terme, il suffit de remarquer que $\frac{1}{(x-2)^2}$ est la dérivée
de $\frac{-1}{x-2}$. Ayant déjà obtenu le développement en série entière de cette fraction rationnelle,
il suffit de le dériver terme à terme. On obtient donc :
$$\frac{1}{(x-2)^2}=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n}{2^{n+1}}x^{n-1}=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n+1}{2^{n+2}}x^{n}.$$
On obtient donc que, pour tout $x\in]-1/2,1/2[$, on a
$$f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{-1}{2^{n+1}}+\frac{n+1}{2^{n+2}}+2^n\right)x^n.$$
La série entière obtenue est de rayon de convergence 1/2.
Bibm@th
