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DSE en 0 - Bibm@th.net

Exercice 1

- DSE en 0 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Développer en série entière au voisinage de 0 les fonctions suivantes. On précisera le rayon de convergence de la série entière obtenue. $$\begin{array}{lcl} \mathbf{1.}\ln(1+2x^2)&\quad&\mathbf{2.}\displaystyle \frac{1}{a-x}\textrm{ avec }a\neq 0\\ \mathbf{3.}\ln(a+x) \textrm{ avec }a> 0&\quad&\mathbf{4.}\displaystyle \frac{e^x}{1-x}\\ \mathbf{5.}\ln(1+x-2x^2)&\quad&\mathbf{6.}\displaystyle(4+x^2)^{-3/2} \end{array}$$

Indication

Corrigé

Il suffit de remplacer $t$ par $2x^2$ dans le développement en série entière de $\ln(1+t)$. On a donc $$\ln(1+2x^2)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n+1}2^n x^{2n}}{n}.$$ La série converge si $|2x^2|<1$. Son rayon de convergence est donc $\frac{1}{\sqrt 2}$.
Il suffit de factoriser par $a$ au dénominateur et d'utiliser le développement en série entière de $\frac{1}{1-u}$. Il vient $$\frac{1}{a-x}=\frac{1}{a}\times\frac{1}{1-\frac{x}{a}}.$$ Pour $|x/a|<1\iff |x|<|a|$, on obtient $$\frac{1}{a-x}=\frac{1}a\times\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{a^n}=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{a^{n+1}}.$$ Le rayon de convergence de la série obtenue est $|a|$.
On factorise par $a$ : $$\ln(x+a)=\ln\big(a(1+x/a)\big)=\ln(a)+\ln(1+x/a).$$ Pour $|x/a|<1$, soit $|x|<a$, on en déduit $$\ln(x+a)=\ln(a)+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n+1}x^n}{na^n}.$$ Le rayon de convergence de la série entière obtenue est $a$.
On réalise le produit de Cauchy des deux séries : $$e^x=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}\textrm{ et }\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{+\infty}x^n.$$ La deuxième série ayant pour rayon de convergence 1, on en déduit que pour $|x|<1$, on a $$\frac{e^x}{1-x}=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n x^n\textrm{ avec }a_n=\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}.$$ La série converge pour $|x|<1$ (règle du produit de Cauchy), et comme $a_n\geq 1$, le rayon de convergence de la série obtenue est exactement égal à 1 puisque, pour $|x|>1$, la série $\sum_n a_n x^n$ ne peut pas converger puisque son terme général ne tend pas vers zéro.
On a $1+x-2x^2=(1-x)(1+2x)$ donc la fonction est définie sur $I=]-1/2,1[$, et sur cet intervalle, elle s'écrit $$\ln(1+x-2x^2)=\ln(1-x)+\ln(1+2x).$$ En utilisant le développement en série entière de $\ln(1+u)$, on obtient $$\ln(1-x)=-\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n}{n}$$ (valable pour $|x|<1$) $$\ln(1+2x)=\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1}\frac{(2x)^n}{n}$$ (valable pour $|x|<1/2$). En effectuant la somme, on en déduit que $$\ln(1+x-2x^2)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n-1}2^n-1}{n}x^n.$$ La série obtenue est de rayon de convergence 1/2.
On factorise par 4 pour se ramener à $(1+t)^{\alpha}$. On a donc $$(4+x^2)^{-3/2}=\frac{1}8\left(1+\frac{x^2}4\right)^{-3/2}.$$ La fonction $u\mapsto (1+u)^{-3/2}$ est développable en série entière sur $]-1,1[$ et $$\forall u\in]-1,1[,\ (1+u)^{-3/2}=1+\sum_{n\geq 1}(-1)^n\frac{3.5.7.\dots.(2n+1)}{2.4.6.\dots.2n}u^n.$$ Il en résulte que pour tout $x$ tel que $\frac{x^2}4\in]-1,1[$, on a $$\left(1+\frac{x^2}4\right)^{-3/2}=1+\sum_{n\geq 1}(-1)^n\frac{3.5.7.\dots.(2n+1)}{2.4.6.\dots.2n}\frac{x^{2n}}{4^n}.$$ La série entière obtenue a pour rayon de convergence $2$.